Comment extraire une sous-suite uniformément convergente d'une suite de fonctions continues ? | MetMat

Comment extraire une sous-suite uniformément convergente d'une suite de fonctions continues ?

En vérifiant les deux hypothèses du théorème d'Ascoli : équicontinuité de la famille et bornitude ponctuelle uniforme, puis en concluant par le théorème d'Ascoli

Extraire une sous-suite uniformément convergente d'une suite $(f_n)$ dans $C(X; \mathbb{K})$ en vérifiant que la famille satisfait les hypothèses du théorème d'Ascoli.

L'objectif

Extraire une sous-suite uniformément convergente d'une suite $(f_n)$ dans $C(X; \mathbb{K})$ en vérifiant que la famille satisfait les hypothèses du théorème d'Ascoli.

Le principe

Le théorème d'Ascoli affirme que si $X$ est compact, $\mathcal{F} \subset C(X; \mathbb{K})$ est équicontinue et ponctuellement bornée, alors de toute suite de $\mathcal{F}$ on peut extraire une sous-suite uniformément convergente — ce critère de compacité séquentielle contourne l'absence de compacité des boules en dimension infinie.

La méthode

1
Vérifier que l'espace de départ $X$ est un espace métrique compact.
2
Vérifier la bornitude ponctuelle uniforme : pour tout $x \in X$ , l'ensemble $\{f_n(x) : n \geq 0\}$ est une partie bornée de $\mathbb{K}$ (il suffit souvent de montrer $\sup_n \|f_n\|_\infty \leq C < \infty$ ).
3
Vérifier l'équicontinuité de la famille $\{f_n : n \geq 0\}$ sur $X$ : $\forall \varepsilon > 0,\, \exists \delta > 0,\, \forall n,\, \forall x,y \in X,\, d(x,y) < \delta \Rightarrow |f_n(x) - f_n(y)| < \varepsilon$ .
4
Conclure par le théorème d'Ascoli (Théorème 3.1.2) : il existe une sous-suite $(f_{\varphi(n)})$ qui converge dans $(C(X; \mathbb{K}), \|\cdot\|_\infty)$ , c'est-à-dire uniformément sur $X$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(f_n)_{n \geq 0}$ une suite de fonctions dans $C([0,1]; \mathbb{R})$ telles qu'il existe $C > 0$ et $k > 0$ avec, pour tout $n \geq 0$ : $\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)| \leq C$ et $|f_n(x) - f_n(y)| \leq k|x-y|$ pour tous $x, y \in [0,1]$ . Montrer qu'on peut extraire une sous-suite uniformément convergente (exemple du poly, §3.1.10).

Étape 1 —

Vérifier que l'espace de départ

X

est un espace métrique compact.

L'espace de départ est $[0,1]$ , compact pour la topologie usuelle.

Étape 2 —

Vérifier la bornitude ponctuelle uniforme : pour tout

x \in X

, l'ensemble

\{f_n(x) : n \geq 0\}

est une partie bornée de

\mathbb{K}

(il suffit souvent de montrer

\sup_n \|f_n\|_\infty \leq C < \infty

Bornitude ponctuelle uniforme : pour tout $x \in [0,1]$ , $|f_n(x)| \leq C$ pour tout $n \geq 0$ , donc $\{f_n(x) : n \geq 0\} \subset [-C, C]$ est borné.

Étape 3 —

Vérifier l'équicontinuité de la famille

\{f_n : n \geq 0\}

sur

X

\forall \varepsilon > 0,\, \exists \delta > 0,\, \forall n,\, \forall x,y \in X,\, d(x,y) < \delta \Rightarrow |f_n(x) - f_n(y)| < \varepsilon

Étape 4 —

Conclure par le théorème d'Ascoli (Théorème 3.1.2) : il existe une sous-suite

(f_{\varphi(n)})

qui converge dans

(C(X; \mathbb{K}), \|\cdot\|_\infty)

, c'est-à-dire uniformément sur

X

Les deux hypothèses du théorème d'Ascoli sont satisfaites. On conclut : il existe $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante et $f \in C([0,1]; \mathbb{R})$ telles que $\|f_{\varphi(n)} - f\|_\infty \to 0$ , i.e. $(f_{\varphi(n)})$ converge uniformément vers $f$ .

Par le théorème d'Ascoli, il existe une sous-suite $(f_{\varphi(n)})$ convergeant uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction continue $f$ .

Application guidée

Soit $E$ un sous-espace vectoriel fermé de $C([0,1]; \mathbb{R})$ , inclus dans $C^1([0,1]; \mathbb{R})$ , avec $\|f'\|_\infty \leq M \|f\|_\infty$ pour tout $f \in E$ . Montrer que de toute suite de la boule unité $B = \{f \in E : \|f\|_\infty \leq 1\}$ on peut extraire une sous-suite convergeant dans $(C([0,1]; \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)$ (exercice 28a du poly).

Application autonome 1

Soit $(f_n)_{n \geq 0}$ une suite dans $\mathcal{F} = \{f \in C^1([0,1]; \mathbb{R}) : \int_0^1 |f'(t)|^2\, dt \leq 1,\; |f(0)| \leq 1\}$ . Montrer qu'on peut extraire une sous-suite uniformément convergente.

Application autonome 2

Soit $(g_n)_{n \geq 0}$ une suite de fonctions dans $C([0,1]; \mathbb{R})$ telles que $\|g_n\|_\infty \leq 5$ pour tout $n$ et $|g_n(x) - g_n(y)| \leq 3|x-y|^{1/2}$ pour tous $x, y \in [0,1]$ . Extraire une sous-suite uniformément convergente.

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