En montrant que toutes les fonctions de $\mathcal{F}$ sont $k$ -lipschitziennes avec le même $k$

Déduire l'équicontinuité d'une famille $\mathcal{F}$ en établissant une inégalité de Lipschitz $|f(x) - f(y)| \leq k \, d(x,y)$ valable pour toutes $f \in \mathcal{F}$ avec la même constante $k > 0$ .

L'objectif

Le principe

Toute famille de fonctions uniformément $k$ -lipschitziennes est équicontinue : l'inégalité de Lipschitz fournit directement un $\delta = \varepsilon/k$ indépendant de $f$ . Cette approche s'applique dès que la constante de Lipschitz est uniforme sur $\mathcal{F}$ .

La méthode

1
Exprimer $|f(x) - f(y)|$ en termes de quantités liées à $f$ : dérivée, norme, ou autre représentation intégrale.
2
Majorer $|f(x) - f(y)|$ par $k \cdot d(x,y)$ où la constante $k > 0$ est la même pour toutes $f \in \mathcal{F}$ (elle peut dépendre des hypothèses sur $\mathcal{F}$ , pas du choix de $f$ ).
3
Conclure : en prenant $\delta = \varepsilon / k$ , on a $d(x,y) < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \leq k \, d(x,y) < k \cdot \frac{\varepsilon}{k} = \varepsilon$ , uniformément en $f \in \mathcal{F}$ .

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Exercice d'exemple

Soit $\mathcal{F} = \{f \in C^1([0,1]; \mathbb{R}) : \|f'\|_\infty \leq M\}$ pour une constante $M > 0$ fixée. Montrer que $\mathcal{F}$ est une famille de fonctions $M$ -lipschitziennes, et en déduire que $\mathcal{F}$ est équicontinue sur $[0,1]$ .

Étape 1 —

Exprimer

|f(x) - f(y)|

en termes de quantités liées à

f

: dérivée, norme, ou autre représentation intégrale.

Pour $f \in \mathcal{F}$ et $x, y \in [0,1]$ , écrire $f(x) - f(y) = \int_y^x f'(t)\, dt$ (théorème fondamental du calcul).

Étape 2 —

Majorer

|f(x) - f(y)|

par

k \cdot d(x,y)

où la constante

k > 0

est la même pour toutes

f \in \mathcal{F}

(elle peut dépendre des hypothèses sur

\mathcal{F}

, pas du choix de

f

Majorer : $|f(x) - f(y)| \leq \int_{\min(x,y)}^{\max(x,y)} |f'(t)|\, dt \leq \|f'\|_\infty \cdot |x-y| \leq M \cdot |x-y|$ . La constante $M$ est la même pour toutes $f \in \mathcal{F}$ .

Étape 3 —

Conclure : en prenant

\delta = \varepsilon / k

, on a

d(x,y) < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \leq k \, d(x,y) < k \cdot \frac{\varepsilon}{k} = \varepsilon

, uniformément en

f \in \mathcal{F}

Prendre $\delta = \varepsilon / M$ . Alors $|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \leq M|x-y| < \varepsilon$ , uniformément en $f \in \mathcal{F}$ .

$\mathcal{F}$ est $M$ -lipschitzienne uniformément, donc équicontinue avec $\delta = \varepsilon/M$ .

Application guidée

Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $C([0,1]; \mathbb{R})$ , inclus dans $C^1([0,1]; \mathbb{R})$ , tel qu'il existe $M > 0$ avec $\|f'\|_\infty \leq M \|f\|_\infty$ pour tout $f \in E$ . Montrer que la boule unité $B = \{f \in E : \|f\|_\infty \leq 1\}$ est une famille équicontinue (exercice 28a du poly).

Application autonome 1

Soit $\mathcal{F} = \{f_n : x \mapsto \frac{\sin(x)}{n} : n \geq 1\} \subset C(\mathbb{R}; \mathbb{R})$ . Vérifier que $\mathcal{F}$ est uniformément $k$ -lipschitzienne avec $k = 1$ , et en déduire l'équicontinuité.

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En montrant que toutes les fonctions de F\mathcal{F}F sont kkk-lipschitziennes avec le même kkk

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En montrant que toutes les fonctions de $\mathcal{F}$ sont $k$ -lipschitziennes avec le même $k$