En construisant par récurrence une suite $(e_n)$ de vecteurs unitaires avec $\|e_n - e_m\| \geq 1/2$ pour $n \neq m$, via le lemme de Riesz appliqué au sous-espace engendré par $e_0, \ldots, e_n$

Poser $e_0 = (1, 0, 0, \ldots)$, le premier vecteur de la base canonique de $\ell^2(\mathbb{N})$.

Définir $e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)$ ($1$ en position $n$, zéros ailleurs). La suite $(e_n)$ est dans $S_{\ell^2}(0,1)$ et $F_n = \mathrm{Vect}(e_0, \ldots, e_n)$ est de dimension $n+1$, fermé dans $\ell^2(\mathbb{N})$, strictement inclus dans $\ell^2(\mathbb{N})$.

On calcule : pour $n \neq m$, $\|e_n - e_m\|_2^2 = 1 + 1 = 2$, donc $\|e_n - e_m\|_2 = \sqrt{2} \geq 1/2$. Cette suite vérifie bien la condition du lemme de Riesz (avec $\varepsilon = 1 - 1/\sqrt{2}$).

Comme $\|e_n - e_m\|_2 = \sqrt{2}$ pour tout $n \neq m$, aucune sous-suite de $(e_n)$ n'est de Cauchy, donc aucune sous-suite ne converge dans $\ell^2(\mathbb{N})$.

La suite $(e_n)$ est dans $B_f(0,1)$ mais n'admet pas de sous-suite convergente : $B_f(0,1)$ n'est pas séquentiellement compacte, donc pas compacte. $\dim \ell^2(\mathbb{N}) = \infty$ confirme le théorème de Riesz.