Comment montrer que deux normes quelconques sur $\mathbb{R}^N$ sont équivalentes ? | MetMat

Comment montrer que deux normes quelconques sur $\mathbb{R}^N$ sont équivalentes ?

En montrant que toute norme $N$ est lipschitzienne pour $\|\cdot\|_\infty$ , puis qu'elle atteint son minimum strictement positif $m$ sur la sphère unité compacte $S$ , ce qui donne $m\|x\|_\infty \leq N(x) \leq C\|x\|_\infty$

Montrer que toute norme $N$ sur $\mathbb{R}^N$ est équivalente à $\|\cdot\|_\infty$ en exhibant des constantes $0 < m \leq C$ telles que $m\|x\|_\infty \leq N(x) \leq C\|x\|_\infty$ pour tout $x \in \mathbb{R}^N$ .

L'objectif

Le principe

On pose $C = \sum_{i=1}^N N(e_i)$ pour la majoration (inégalité triangulaire), puis on utilise la compacité de la sphère unité $S = \{\|x\|_\infty = 1\}$ pour garantir que $N$ y atteint un minimum $m > 0$ , ce qui donne la minoration par homogénéité (Thm. 2.1.3).

La méthode

1
Majoration. Soit $(e_1, \ldots, e_N)$ la base canonique de $\mathbb{R}^N$ . Pour $x = \sum_{i=1}^N x_i e_i$ , l'inégalité triangulaire et l'homogénéité donnent : $N(x) \leq \sum_{i=1}^N |x_i| N(e_i) \leq \|x\|_\infty \sum_{i=1}^N N(e_i) =: C \|x\|_\infty.$
2
$N$ est $C$ -lipschitzienne pour $\|\cdot\|_\infty$ . Pour $x, y \in \mathbb{R}^N$ : $|N(x) - N(y)| \leq N(x-y) \leq C\|x-y\|_\infty$ . Donc $N : (\mathbb{R}^N, \|\cdot\|_\infty) \to \mathbb{R}$ est continue.
3
Compacité de $S$ . La sphère $S = \{x \in \mathbb{R}^N : \|x\|_\infty = 1\}$ est fermée (image réciproque de $\{1\}$ par $\|\cdot\|_\infty$ continue) et bornée : $S$ est compacte dans $(\mathbb{R}^N, \|\cdot\|_\infty)$ .
4
Minimum atteint. Par le Thm. 2.1.2, $N$ continue sur le compact $S$ atteint son minimum : il existe $a \in S$ tel que $m := N(a) \leq N(x)$ pour tout $x \in S$ . Comme $a \neq 0$ , $m = N(a) > 0$ .
5
Minoration par homogénéité. Pour $x \neq 0$ : $\frac{x}{\|x\|_\infty} \in S$ , donc $N\!\left(\frac{x}{\|x\|_\infty}\right) \geq m$ . Par homogénéité : $N(x) = \|x\|_\infty \cdot N\!\left(\frac{x}{\|x\|_\infty}\right) \geq m\|x\|_\infty$ . On a donc $m\|x\|_\infty \leq N(x) \leq C\|x\|_\infty$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $\|x\|_1 = \sum_{i=1}^N |x_i|$ est équivalente à $\|x\|_\infty = \max_i |x_i|$ sur $\mathbb{R}^N$ .

Étape 1 —

Majoration. Soit

(e_1, \ldots, e_N)

la base canonique de

\mathbb{R}^N

. Pour

x = \sum_{i=1}^N x_i e_i

, l'inégalité triangulaire et l'homogénéité donnent :

N(x) \leq \sum_{i=1}^N |x_i| N(e_i) \leq \|x\|_\infty \sum_{i=1}^N N(e_i) =: C \|x\|_\infty.

Majoration. $\|x\|_1 = \sum_i |x_i| \leq N \max_i |x_i| = N\|x\|_\infty$ . Donc $C = N$ .

Étape 2 —

$N$ est $C$ -lipschitzienne pour $\|\cdot\|_\infty$ . Pour

x, y \in \mathbb{R}^N

|N(x) - N(y)| \leq N(x-y) \leq C\|x-y\|_\infty

. Donc

N : (\mathbb{R}^N, \|\cdot\|_\infty) \to \mathbb{R}

est continue.

Continuité. $|\|x\|_1 - \|y\|_1| \leq \|x-y\|_1 \leq N\|x-y\|_\infty$ : $\|\cdot\|_1$ est $N$ -lipschitzienne pour $\|\cdot\|_\infty$ .

Étape 3 —

Compacité de $S$ . La sphère

S = \{x \in \mathbb{R}^N : \|x\|_\infty = 1\}

est fermée (image réciproque de

\{1\}

par

\|\cdot\|_\infty

continue) et bornée :

S

est compacte dans

(\mathbb{R}^N, \|\cdot\|_\infty)

Compacité. $S = \{\|x\|_\infty = 1\}$ est compact. $\|\cdot\|_1$ est continue, donc atteint son minimum $m$ sur $S$ .

Étape 4 —

Minimum atteint. Par le Thm. 2.1.2,

N

continue sur le compact

S

atteint son minimum : il existe

a \in S

tel que

m := N(a) \leq N(x)

pour tout

x \in S

. Comme

a \neq 0

m = N(a) > 0

Minoration. Sur $S$ , $\|x\|_1 \geq \max_i |x_i| = 1 = \|x\|_\infty$ , donc $m \geq 1$ . En fait $m = 1$ (atteint par $e_1$ ).

Étape 5 —

Minoration par homogénéité. Pour

x \neq 0

\frac{x}{\|x\|_\infty} \in S

, donc

N\!\left(\frac{x}{\|x\|_\infty}\right) \geq m

. Par homogénéité :

N(x) = \|x\|_\infty \cdot N\!\left(\frac{x}{\|x\|_\infty}\right) \geq m\|x\|_\infty

. On a donc

m\|x\|_\infty \leq N(x) \leq C\|x\|_\infty

Conclusion. Pour $x \neq 0$ : $\|x\|_\infty \leq \|x\|_1 \leq N\|x\|_\infty$ .

$\|x\|_\infty \leq \|x\|_1 \leq N\|x\|_\infty$ : les normes $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_\infty$ sont équivalentes sur $\mathbb{R}^N$ .

Application guidée

Montrer que $\|x\|_2 = \sqrt{\sum_i x_i^2}$ est équivalente à $\|x\|_\infty$ sur $\mathbb{R}^N$ .

Application autonome 1

Montrer que sur $\mathbb{R}^2$ , la norme $N(x,y) = |x| + 2|y|$ est équivalente à $\|(x,y)\|_\infty = \max(|x|,|y|)$ .

Application autonome 2

Déduire de l'équivalence des normes que les parties compactes de $\mathbb{R}^N$ sont les mêmes pour toutes les normes.

Application autonome 3

Montrer que l'équivalence des normes est propre à la dimension finie : sur $\ell^2(\mathbb{N};\mathbb{R})$ , les normes $\|\cdot\|_2$ et $\|\cdot\|_\infty$ ne sont pas équivalentes.

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