En encadrant $d(x_n, x_m) \leq d(x_n, x) + d(x, x_m)$ et en montrant que chaque terme tend vers $0$

Montrer qu'une suite est de Cauchy en exhibant une limite candidate et en prouvant que la suite converge vers elle (toute suite convergente est de Cauchy).

L'objectif

Montrer qu'une suite est de Cauchy en exhibant une limite candidate et en prouvant que la suite converge vers elle (toute suite convergente est de Cauchy).

Le principe

Toute suite convergente est de Cauchy : si $x_n \to x$ , alors $d(x_n, x_m) \leq d(x_n, x) + d(x, x_m) \to 0$ .

La méthode

1
Identifier (ou deviner) la limite candidate $x$ de la suite.
2
Montrer que $x_n \to x$ , c'est-à-dire : pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $n_0$ tel que $\forall n \geq n_0,\ d(x_n, x) < \varepsilon / 2$ .
3
Appliquer l'inégalité triangulaire : pour $n, m \geq n_0$ , $d(x_n, x_m) \leq d(x_n, x) + d(x, x_m) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$

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Exercice d'exemple

Montrer que la suite $x_n = 1 - \frac{1}{n+1}$ est de Cauchy dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ .

Étape 1 —

Identifier (ou deviner) la limite candidate

x

de la suite.

La limite candidate est $x = 1$ (calcul direct).

Étape 2 —

Montrer que

x_n \to x

, c'est-à-dire : pour tout

\varepsilon > 0

, il existe

n_0

tel que

\forall n \geq n_0,\ d(x_n, x) < \varepsilon / 2

Vérifier la convergence : $|x_n - 1| = \frac{1}{n+1} \to 0$ . Pour $\varepsilon > 0$ , choisir $n_0 > \frac{2}{\varepsilon} - 1$ : alors $|x_n - 1| < \frac{\varepsilon}{2}$ pour $n \geq n_0$ .

Étape 3 —

Appliquer l'inégalité triangulaire : pour

n, m \geq n_0

d(x_n, x_m) \leq d(x_n, x) + d(x, x_m) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.

Pour $n, m \geq n_0$ : $|x_n - x_m| \leq |x_n - 1| + |1 - x_m| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$ .

$(x_n)$ converge vers $1$ , donc est de Cauchy.

Application guidée

Montrer que la suite de fonctions $f_n(t) = e^{-nt}$ dans $(C([0,1]; \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)$ n'est pas de Cauchy.

Application autonome 1

Montrer que la suite $u_n = \frac{n}{n+1}$ est de Cauchy dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ .

Application autonome 2

Soit $(L_n)$ une suite dans $\mathcal{L}(E,F)$ supposée convergente vers $L$ pour $\|\cdot\|_{\mathcal{L}(E,F)}$ . Vérifier directement que $(L_n)$ est de Cauchy.

Application autonome 3

Montrer que la suite $a_n = \left(\frac{1}{k+n}\right)_{k \in \mathbb{N}}$ dans $\ell^\infty(\mathbb{N}; \mathbb{R})$ est de Cauchy.

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En encadrant d(xn,xm)≤d(xn,x)+d(x,xm)d(x_n, x_m) \leq d(x_n, x) + d(x, x_m)d(xn​,xm​)≤d(xn​,x)+d(x,xm​) et en montrant que chaque terme tend vers 000

Pour comprendre, fais des exercices !

En encadrant $d(x_n, x_m) \leq d(x_n, x) + d(x, x_m)$ et en montrant que chaque terme tend vers $0$