En montrant que toute suite admet une sous-suite convergente dans l'espace (critère séquentiel)

Montrer qu'un espace métrique $(X, d)$ est compact en vérifiant la définition séquentielle : toute suite de points de $X$ admet au moins une valeur d'adhérence dans $X$ .

L'objectif

Montrer qu'un espace métrique $(X, d)$ est compact en vérifiant la définition séquentielle : toute suite de points de $X$ admet au moins une valeur d'adhérence dans $X$ .

Le principe

Par définition (Déf. 2.1.1), un espace métrique est compact si et seulement si toute suite admet une sous-suite convergente dans cet espace ; il suffit donc d'exhiber une telle extraction pour une suite quelconque.

La méthode

1
Soit $(x_n)_{n \geq 0}$ une suite quelconque de points de $X$ .
2
Exploiter la structure de $X$ (bornitude, structure algébrique, décomposition par dichotomie, etc.) pour construire une extraction $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante.
3
Montrer que la sous-suite $(x_{\varphi(n)})_{n \geq 0}$ converge vers une limite $a$ .
4
Vérifier que $a \in X$ , ce qui conclut : $X$ est compact.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $[0, 1]$ muni de la distance usuelle est compact (Théorème de Bolzano-Weierstrass, Thm. 2.1.1).

Étape 1 —

Soit

(x_n)_{n \geq 0}

une suite quelconque de points de

X

Soit $(x_n)_{n \geq 0}$ une suite quelconque de $[0, 1]$ .

Étape 2 —

Exploiter la structure de

X

(bornitude, structure algébrique, décomposition par dichotomie, etc.) pour construire une extraction

\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}

strictement croissante.

On construit par dichotomie deux suites adjacentes $(a_n)$ et $(b_n)$ avec $a_0 = 0$ , $b_0 = 1$ , $b_n - a_n = 2^{-n}$ , telles que l'ensemble $\{k \geq 0 : a_n \leq x_k \leq b_n\}$ est infini pour tout $n$ . Elles convergent vers une même limite $x \in [0,1]$ .

Étape 3 —

Montrer que la sous-suite

(x_{\varphi(n)})_{n \geq 0}

converge vers une limite

a

Par récurrence on construit $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante telle que $a_n \leq x_{\varphi(n)} \leq b_n$ pour tout $n$ . Comme $b_n - a_n = 2^{-n} \to 0$ , on a $x_{\varphi(n)} \to x$ .

Étape 4 —

Vérifier que

a \in X

, ce qui conclut :

X

est compact.

La limite $x$ vérifie $0 \leq x \leq 1$ , donc $x \in [0,1]$ : $[0,1]$ est compact.

$[0,1]$ est compact : toute suite admet une sous-suite convergeant dans $[0,1]$ .

Application guidée

Montrer que le pavé $[-R, R]^N$ muni de $\|\cdot\|_\infty$ est compact.

Application autonome 1

Soit $(x_m)_{m \geq 0}$ une suite dans $\ell^\infty(\mathbb{N}; \mathbb{R})$ à valeurs dans la boule unité fermée $\overline{B}$ . La boule unité fermée de $(\ell^\infty(\mathbb{N}; \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)$ est-elle compacte ?

Application autonome 2

Montrer que toute partie compacte $Y$ d'un espace métrique $(X,d)$ est fermée dans $(X,d)$ (Prop. 2.1.2, première partie).

Application autonome 3

Montrer que tout espace métrique compact est complet.

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