Comment prouver qu'une propriété est vérifiée en tout point d'un espace connexe ? | MetMat

Comment prouver qu'une propriété est vérifiée en tout point d'un espace connexe ?

En montrant que l'ensemble des points satisfaisant la propriété est non vide, ouvert et fermé dans l'espace connexe

Prouver qu'une propriété $(P)$ est vérifiée en tout point d'un espace métrique connexe $X$ en appliquant le raisonnement de connexité.

L'objectif

Prouver qu'une propriété $(P)$ est vérifiée en tout point d'un espace métrique connexe $X$ en appliquant le raisonnement de connexité.

Le principe

Dans un espace connexe, le seul sous-ensemble à la fois ouvert, fermé et non vide est l'espace tout entier ; il suffit donc de montrer que $S = \{x : (P)(x)\}$ est non vide, ouvert et fermé pour conclure $S = X$ .

La méthode

1
Définir $S = \{x \in X : (P)(x)\}$ (ensemble des points satisfaisant la propriété). Montrer que $S \neq \emptyset$ en exhibant un point de départ vérifiant $(P)$ .
2
Montrer que $S$ est ouvert dans $X$ : si $x \in S$ (i.e. $(P)(x)$ ), montrer qu'il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset S$ (la propriété se propage localement).
3
Montrer que $S$ est fermé dans $X$ : si $(x_n) \subset S$ converge vers $x$ , montrer que $x \in S$ (la propriété est stable par passage à la limite, ou $X \setminus S$ est ouvert).
4
Conclure : $S$ est non vide, ouvert et fermé dans $X$ connexe, donc $S = X$ : la propriété $(P)$ est vérifiée en tout point de $X$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que dans un ouvert connexe $U$ de $\mathbb{R}^N$ , deux points quelconques peuvent être reliés par une ligne polygonale (indiqué en section 2.2.1 du poly et exercice 27).

Étape 1 —

Définir

S = \{x \in X : (P)(x)\}

(ensemble des points satisfaisant la propriété). Montrer que

S \neq \emptyset

en exhibant un point de départ vérifiant

(P)

Fixons $x_0 \in U$ et posons $S = \{x \in U : x_0 \text{ et } x \text{ sont reliés par une ligne polygonale dans } U\}$ . On a $x_0 \in S$ (ligne polygonale vide ou triviale), donc $S \neq \emptyset$ .

Étape 2 —

Montrer que

S

est ouvert dans

X

: si

x \in S

(i.e.

(P)(x)

), montrer qu'il existe

r > 0

tel que

B(x, r) \subset S

(la propriété se propage localement).

$S$ est ouvert : si $x \in S$ , comme $U$ est ouvert, il existe une boule $B(x,r) \subset U$ . Tout point $y \in B(x,r)$ est relié à $x$ par le segment $[x,y] \subset B(x,r) \subset U$ , donc à $x_0$ par une ligne polygonale. Ainsi $B(x,r) \subset S$ .

Étape 3 —

Montrer que

S

est fermé dans

X

: si

(x_n) \subset S

converge vers

x

, montrer que

x \in S

(la propriété est stable par passage à la limite, ou

X \setminus S

est ouvert).

$S$ est fermé : si $(x_n) \subset S$ converge vers $x \in U$ , pour $n$ assez grand $x_n \in B(x,r) \subset U$ et $x$ est relié à $x_n$ par $[x_n, x] \subset U$ , donc à $x_0$ par une ligne polygonale. Ainsi $x \in S$ , et $S$ est fermé.

Étape 4 —

Conclure :

S

est non vide, ouvert et fermé dans

X

connexe, donc

S = X

: la propriété

(P)

est vérifiée en tout point de

X

$S$ est non vide, ouvert et fermé dans $U$ connexe, donc $S = U$ : tout point de $U$ est relié à $x_0$ par une ligne polygonale.

Tout ouvert connexe de $\mathbb{R}^N$ est connexe par arcs (par lignes polygonales).

Application guidée

Soit $f : X \to \mathbb{R}$ continue, $X$ connexe. Montrer que si $f(x) \neq 0$ pour tout $x$ , alors $f$ est de signe constant.

Application autonome 1

Soit $X$ un espace métrique connexe et $f : X \to \mathbb{Z}$ continue. Montrer que $f$ est constante.

Application autonome 2

Montrer que l'ensemble des matrices inversibles $GL_n(\mathbb{R})$ n'est pas connexe.

Application autonome 3

Montrer que si $X$ est connexe et $f : X \to \{0,1\}$ continue, alors $f$ est constante (reformulation directe du raisonnement de connexité).

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