Comment montrer qu'une application linéaire définie sur un espace de dimension finie est continue ? | MetMat

Comment montrer qu'une application linéaire définie sur un espace de dimension finie est continue ?

En décomposant $L(x)$ sur une base $(e_1,\ldots,e_n)$ et en majorant $\|L(x)\|_F \leq \left(\sum_{i=1}^n \|L(e_i)\|_F\right) \cdot \|x\|_E$ par l'inégalité triangulaire

Établir qu'une application linéaire $L : E \to F$ avec $\dim E = n < +\infty$ est continue (en fait Lipschitzienne).

L'objectif

Établir qu'une application linéaire $L : E \to F$ avec $\dim E = n < +\infty$ est continue (en fait Lipschitzienne).

Le principe

Sur un espace de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes ; en coordonnant $x$ sur une base, on borne $\|L(x)\|_F$ par une constante fois $\|x\|_E$ grâce à l'inégalité triangulaire et à la linéarité.

La méthode

1
Fixer une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $E$ et écrire $x = \sum_{i=1}^n x_i e_i$ avec $x_i \in \mathbb{K}$ . On dispose de la norme $\|x\|_E := \sup_{i} |x_i|$ sur $E$ (ou toute norme équivalente).
2
Développer $L(x)$ par linéarité : $L(x) = \sum_{i=1}^n x_i L(e_i)$ .
3
Majorer par l'inégalité triangulaire : $\|L(x)\|_F \leq \sum_{i=1}^n |x_i| \|L(e_i)\|_F \leq \left(\sum_{i=1}^n \|L(e_i)\|_F\right) \|x\|_E$ .
4
Poser $C := \sum_{i=1}^n \|L(e_i)\|_F > 0$ . On obtient $\|L(x) - L(y)\|_F = \|L(x-y)\|_F \leq C \|x - y\|_E$ pour tous $x, y \in E$ , ce qui montre que $L$ est $C$ -lipschitzienne, donc continue.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que l'application $L : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $L(x_1, x_2) = 3x_1 - 2x_2$ est continue.

Étape 1 —

Fixer une base

(e_1, \ldots, e_n)

E

et écrire

x = \sum_{i=1}^n x_i e_i

avec

x_i \in \mathbb{K}

. On dispose de la norme

\|x\|_E := \sup_{i} |x_i|

sur

E

(ou toute norme équivalente).

La base canonique de $\mathbb{R}^2$ est $(e_1, e_2)$ avec $e_1 = (1,0)$ , $e_2 = (0,1)$ . Pour $x = (x_1, x_2)$ , on a $\|x\|_{\infty} = \sup(|x_1|, |x_2|)$ .

Étape 2 —

Développer

L(x)

par linéarité :

L(x) = \sum_{i=1}^n x_i L(e_i)

Par linéarité : $L(x) = x_1 L(e_1) + x_2 L(e_2) = 3x_1 - 2x_2$ .

Étape 3 —

Majorer par l'inégalité triangulaire :

\|L(x)\|_F \leq \sum_{i=1}^n |x_i| \|L(e_i)\|_F \leq \left(\sum_{i=1}^n \|L(e_i)\|_F\right) \|x\|_E

$|L(x)| \leq |x_1| |L(e_1)| + |x_2| |L(e_2)| = 3|x_1| + 2|x_2| \leq (3 + 2)\|x\|_{\infty} = 5\|x\|_{\infty}$ .

Étape 4 —

Poser

C := \sum_{i=1}^n \|L(e_i)\|_F > 0

. On obtient

\|L(x) - L(y)\|_F = \|L(x-y)\|_F \leq C \|x - y\|_E

pour tous

x, y \in E

, ce qui montre que

L

est

C

-lipschitzienne, donc continue.

$C = 5$ , donc $|L(x) - L(y)| \leq 5\|x - y\|_{\infty}$ : $L$ est $5$ -lipschitzienne, donc continue.

$L$ est $5$ -lipschitzienne sur $(\mathbb{R}^2, \|\cdot\|_{\infty})$ , donc continue.

Application guidée

Montrer que la transposée $L : M_n(\mathbb{R}) \to M_n(\mathbb{R})$ , $A \mapsto A^\top$ , est continue pour la norme $\|A\|_\infty = \max_{i,j} |a_{ij}|$ .

Application autonome 1

Soit $L : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ une application linéaire représentée par la matrice $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ . Montrer que $L$ est continue pour les normes $\|\cdot\|_\infty$ sur $\mathbb{R}^n$ et $\mathbb{R}^m$ .

Application autonome 2

Montrer que l'évaluation $\text{ev}_t : \mathbb{R}[X]_{\leq n} \to \mathbb{R}$ , $P \mapsto P(t)$ , est continue pour la norme $\|P\| = \sup_{i} |a_i|$ où $P = \sum_{i=0}^n a_i X^i$ .

Application autonome 3

Montrer que l'application $\text{tr} : M_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ , $A \mapsto \text{tr}(A)$ , est continue pour la norme $\|A\|_\infty = \max_{i,j}|a_{ij}|$ .

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