En montrant que toute boule ouverte de X intersecte la partie

Montrer qu'une partie $Y \subset X$ est dense en vérifiant que toute boule ouverte de $X$ rencontre $Y$ .

L'objectif

Montrer qu'une partie $Y \subset X$ est dense en vérifiant que toute boule ouverte de $X$ rencontre $Y$ .

Le principe

D'après la Proposition 1.3.3 du poly, $x \in \overline{Y}$ si et seulement si $B(x, \varepsilon) \cap Y \neq \emptyset$ pour tout $\varepsilon > 0$ ; montrer cela pour tout $x \in X$ équivaut à $\overline{Y} = X$ .

La méthode

1
Soit $x \in X$ et $\varepsilon > 0$ quelconques. L'objectif est d'exhiber un point $y \in Y$ avec $d(x, y) < \varepsilon$ .
2
Construire explicitement $y \in Y$ à l'intérieur de la boule $B(x, \varepsilon)$ , en exploitant les propriétés spécifiques de $Y$ et de l'espace $(X, d)$ .
3
Conclure : $B(x, \varepsilon) \cap Y \neq \emptyset$ pour tout $x$ et tout $\varepsilon > 0$ , donc $\overline{Y} = X$ et $Y$ est dense.

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Exercice d'exemple

Montrer que $\mathbb{Q}$ est dense dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ par la méthode des boules.

Étape 1 —

Soit

x \in X

\varepsilon > 0

quelconques. L'objectif est d'exhiber un point

y \in Y

avec

d(x, y) < \varepsilon

Soient $x \in \mathbb{R}$ et $\varepsilon > 0$ . On cherche $q \in \mathbb{Q}$ avec $|q - x| < \varepsilon$ .

Étape 2 —

Construire explicitement

y \in Y

à l'intérieur de la boule

B(x, \varepsilon)

, en exploitant les propriétés spécifiques de

Y

et de l'espace

(X, d)

Choisir $n \geq 1$ tel que $1/n < \varepsilon$ , puis poser $q = \lfloor nx \rfloor / n \in \mathbb{Q}$ . Alors $|q - x| \leq 1/n < \varepsilon$ et $q \in B(x, \varepsilon) \cap \mathbb{Q}$ .

Étape 3 —

Conclure :

B(x, \varepsilon) \cap Y \neq \emptyset

pour tout

x

et tout

\varepsilon > 0

, donc

\overline{Y} = X

Y

est dense.

Toute boule ouverte de $\mathbb{R}$ rencontre $\mathbb{Q}$ , donc $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ .

$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ : toute boule réelle contient un rationnel.

Application guidée

Montrer que $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ est dense dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ .

Application autonome 1

Montrer que l'ensemble des suites à support fini est dense dans $(C_0, \|\cdot\|_\infty)$ (Exercice 13 du poly, méthode boules).

Application autonome 2

Montrer que $D = \{ p + q\sqrt{2} : p, q \in \mathbb{Z} \}$ est dense dans $\mathbb{R}$ par la méthode des boules (Exercice 10 du poly).

Application autonome 3

Dans $(C([0,1]), \|\cdot\|_1)$ avec $\|f\|_1 = \int_0^1 |f|$ , montrer que les fonctions constantes par morceaux à valeurs dans $\mathbb{Q}$ sont denses.

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