Comment déterminer l'intérieur et l'adhérence d'une partie d'un espace métrique ? | MetMat

Comment déterminer l'intérieur et l'adhérence d'une partie d'un espace métrique ?

En calculant l'intérieur comme plus grand ouvert contenu dans la partie (chercher les points entourés d'une boule incluse)

Déterminer l'intérieur $\mathring{Y}$ d'une partie $Y$ d'un espace métrique $(X, d)$ .

L'objectif

Déterminer l'intérieur $\mathring{Y}$ d'une partie $Y$ d'un espace métrique $(X, d)$ .

Le principe

L'intérieur $\mathring{Y}$ est l'ensemble des points $x \in Y$ pour lesquels il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset Y$ ; c'est le plus grand ouvert contenu dans $Y$ .

La méthode

1
Conjecturer $\mathring{Y}$ en repérant intuitivement les points de $Y$ qui sont strictement à l'intérieur (pas sur la frontière).
2
Montrer l'inclusion $\mathring{Y} \supset \text{(conjecturé)}$ : pour chaque point conjectué dans $\mathring{Y}$ , exhiber un rayon $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset Y$ .
3
Montrer l'inclusion $\mathring{Y} \subset \text{(conjectué)}$ : vérifier que les points exclus (frontière, points isolés, etc.) n'admettent aucune boule incluse dans $Y$ , en montrant que toute boule les entourant contient des points hors de $Y$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ , déterminer l'intérieur de $[a, b]$ .

Étape 1 —

Conjecturer

\mathring{Y}

en repérant intuitivement les points de

Y

qui sont strictement à l'intérieur (pas sur la frontière).

On conjecture $\mathring{[a,b]} = ]a, b[$ .

Étape 2 —

Montrer l'inclusion

\mathring{Y} \supset \text{(conjecturé)}

: pour chaque point conjectué dans

\mathring{Y}

, exhiber un rayon

r > 0

tel que

B(x, r) \subset Y

Si $x \in ]a, b[$ , posons $r = \min(x - a, b - x) > 0$ . Alors $B(x, r) = ]x-r, x+r[ \subset ]a, b[ \subset [a, b]$ , donc $x \in \mathring{[a,b]}$ .

Étape 3 —

Montrer l'inclusion

\mathring{Y} \subset \text{(conjectué)}

: vérifier que les points exclus (frontière, points isolés, etc.) n'admettent aucune boule incluse dans

Y

, en montrant que toute boule les entourant contient des points hors de

Y

Pour $x = a$ , toute boule $B(a, r)$ contient des points $< a$ , hors de $[a,b]$ . Même raisonnement pour $x = b$ . Donc $a, b \notin \mathring{[a,b]}$ .

$\mathring{[a,b]} = ]a, b[$ .

Application guidée

Dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ , déterminer l'intérieur de $\mathbb{Q}$ .

Application autonome 1

Dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ , déterminer l'intérieur de $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

Application autonome 2

Dans $(\mathbb{R}^2, \|\cdot\|_2)$ , déterminer l'intérieur du disque fermé $D = \{ (x,y) : x^2 + y^2 \leq 1 \}$ .

Application autonome 3

Dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ , déterminer l'intérieur de $\{x\}$ (singleton).

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