Comment montrer qu'une partie d'un espace métrique est ouverte ou fermée ? | MetMat

Comment montrer qu'une partie d'un espace métrique est ouverte ou fermée ?

En montrant qu'elle est fermée : montrer que son complémentaire est ouvert

Établir qu'une partie $F \subset X$ est fermée en montrant que $X \setminus F$ est un ouvert.

L'objectif

Établir qu'une partie $F \subset X$ est fermée en montrant que $X \setminus F$ est un ouvert.

Le principe

Par définition, $F$ est fermé si et seulement si $X \setminus F$ est ouvert ; il suffit donc de prouver que tout point de $X \setminus F$ admet une boule ouverte entièrement contenue dans $X \setminus F$ .

La méthode

1
Soit $x \in X \setminus F$ . L'objectif est de trouver $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset X \setminus F$ , c'est-à-dire $B(x, r) \cap F = \emptyset$ .
2
Utiliser la caractérisation de $F$ pour trouver un rayon $r > 0$ garantissant que tout point à distance $< r$ de $x$ ne peut pas appartenir à $F$ . Souvent, on exploite une inégalité triangulaire.
3
Conclure : $X \setminus F$ est ouvert (tout point y possède une boule incluse dans $X \setminus F$ ), donc $F$ est fermé.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ , montrer que $F = [a, b]$ est un fermé.

Étape 1 —

Soit

x \in X \setminus F

. L'objectif est de trouver

r > 0

tel que

B(x, r) \subset X \setminus F

, c'est-à-dire

B(x, r) \cap F = \emptyset

Soit $x \in \mathbb{R} \setminus [a, b]$ . Alors soit $x < a$ , soit $x > b$ . Dans le premier cas, posons $r = a - x > 0$ .

Étape 2 —

Utiliser la caractérisation de

F

pour trouver un rayon

r > 0

garantissant que tout point à distance

< r

x

ne peut pas appartenir à

F

. Souvent, on exploite une inégalité triangulaire.

Si $|y - x| < r = a - x$ , alors $y < x + r = a$ , donc $y \notin [a, b]$ , i.e. $B(x, r) \subset \mathbb{R} \setminus [a, b]$ . Le cas $x > b$ est symétrique avec $r = x - b$ .

Étape 3 —

Conclure :

X \setminus F

est ouvert (tout point y possède une boule incluse dans

X \setminus F

), donc

F

est fermé.

$\mathbb{R} \setminus [a, b]$ est ouvert, donc $[a, b]$ est fermé.

$[a, b]$ est un fermé de $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ .

Application guidée

Dans tout espace métrique $(X, d)$ , montrer que la boule fermée $B_f(x_0, R) = \{ y : d(x_0, y) \leq R \}$ est un fermé.

Application autonome 1

Dans $(\mathbb{R}^2, \|\cdot\|_2)$ , montrer que $F = \{ (x, y) : x \leq 0 \}$ est fermé.

Application autonome 2

Dans $(C([0,1]), \|\cdot\|_\infty)$ , montrer que $F = \{ f : f(0) \leq 0 \}$ est fermé.

Application autonome 3

Dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ , montrer que l'ensemble $A = \{ (-1)^n + 1/n : n \geq 1 \}$ n'est pas fermé (Exercice 1b du poly).

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