En établissant l'inégalité triangulaire via Cauchy-Schwarz

Démontrer que $\|\cdot\|_2$ est une norme sur $\mathbb{R}^n$ en s'appuyant sur l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour l'étape cruciale de l'inégalité triangulaire.

L'objectif

Démontrer que $\|\cdot\|_2$ est une norme sur $\mathbb{R}^n$ en s'appuyant sur l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour l'étape cruciale de l'inégalité triangulaire.

Le principe

L'inégalité de Cauchy-Schwarz $\left(\sum x_i y_i\right)^2 \leq \left(\sum x_i^2\right)\left(\sum y_i^2\right)$ — démontrée par positivité du discriminant de $t \mapsto \sum(x_i + t y_i)^2$ — permet de majorer le terme croisé dans $\|x+y\|_2^2$ .

La méthode

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Cauchy-Schwarz : considérer le polynôme $P(t) = \sum_{i=1}^n (x_i + t y_i)^2 = \|y\|_2^2\, t^2 + 2\left(\sum x_i y_i\right) t + \|x\|_2^2 \geq 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}$ . Son discriminant est donc $\leq 0$ : $4\left(\sum x_i y_i\right)^2 - 4\|x\|_2^2 \|y\|_2^2 \leq 0$ , soit $\left|\sum x_i y_i\right| \leq \|x\|_2 \|y\|_2$ .
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Inégalité triangulaire : développer $\|x+y\|_2^2 = \sum(x_i+y_i)^2 = \|x\|_2^2 + 2\sum x_i y_i + \|y\|_2^2 \leq \|x\|_2^2 + 2\|x\|_2\|y\|_2 + \|y\|_2^2 = (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2$ , puis prendre la racine carrée.
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Conclusion : séparation ( $\|x\|_2 = 0 \Leftrightarrow \sum x_i^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ) et homogénéité ( $\|\lambda x\|_2 = |\lambda|\|x\|_2$ ) étant immédiates, $\|\cdot\|_2$ est bien une norme sur $\mathbb{R}^n$ .

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Exercice d'exemple

Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz : pour $x, y \in \mathbb{R}^n$ , $\left|\sum_{i=1}^n x_i y_i\right| \leq \|x\|_2 \|y\|_2$ .

Étape 1 —

Cauchy-Schwarz : considérer le polynôme

P(t) = \sum_{i=1}^n (x_i + t y_i)^2 = \|y\|_2^2\, t^2 + 2\left(\sum x_i y_i\right) t + \|x\|_2^2 \geq 0

pour tout

t \in \mathbb{R}

. Son discriminant est donc

\leq 0

4\left(\sum x_i y_i\right)^2 - 4\|x\|_2^2 \|y\|_2^2 \leq 0

, soit

\left|\sum x_i y_i\right| \leq \|x\|_2 \|y\|_2

Poser $P(t) = \|x + ty\|_2^2 = \sum_{i=1}^n (x_i + t y_i)^2 \geq 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Inégalité triangulaire : développer

\|x+y\|_2^2 = \sum(x_i+y_i)^2 = \|x\|_2^2 + 2\sum x_i y_i + \|y\|_2^2 \leq \|x\|_2^2 + 2\|x\|_2\|y\|_2 + \|y\|_2^2 = (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2

, puis prendre la racine carrée.

Développer : $P(t) = \|y\|_2^2 t^2 + 2\langle x, y\rangle t + \|x\|_2^2$ où $\langle x,y\rangle = \sum x_i y_i$ . Comme $P \geq 0$ et est un polynôme de degré 2 (si $y \neq 0$ ), son discriminant satisfait $\Delta = 4\langle x,y\rangle^2 - 4\|x\|_2^2 \|y\|_2^2 \leq 0$ .

Étape 3 —

Conclusion : séparation (

\|x\|_2 = 0 \Leftrightarrow \sum x_i^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0

) et homogénéité (

\|\lambda x\|_2 = |\lambda|\|x\|_2

) étant immédiates,

\|\cdot\|_2

est bien une norme sur

\mathbb{R}^n

On obtient $\langle x,y\rangle^2 \leq \|x\|_2^2 \|y\|_2^2$ , soit $|\langle x,y\rangle| \leq \|x\|_2 \|y\|_2$ . Le cas $y = 0$ est trivial.

$\left|\sum_{i=1}^n x_i y_i\right| \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1/2} \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)^{1/2}$ .

Application guidée

Montrer que $\|x\|_2 = \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1/2}$ est une norme sur $\mathbb{R}^n$ .

Application autonome 1

Appliquer Cauchy-Schwarz pour montrer : pour $f, g \in \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ , $\left|\int_0^1 f(t)g(t)\, dt\right| \leq \|f\|_2 \|g\|_2$ où $\|f\|_2 = \left(\int_0^1 f^2\right)^{1/2}$ .

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