En extrayant des sous-suites convergentes et en identifiant leurs limites

Déterminer l'ensemble de toutes les valeurs d'adhérence d'une suite $(x_n)$ dans un espace métrique $(X, d)$ .

L'objectif

Déterminer l'ensemble de toutes les valeurs d'adhérence d'une suite $(x_n)$ dans un espace métrique $(X, d)$ .

Le principe

Un point $a \in X$ est valeur d'adhérence de $(x_n)$ si et seulement si $a$ est limite d'une sous-suite $(x_{\varphi(n)})$ ; il suffit donc d'exhiber une extraction $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante telle que $d(x_{\varphi(n)}, a) \to 0$ .

La méthode

1
Identifier les candidats naturels pour les valeurs d'adhérence (points limites évidents, valeurs de cluster, comportements périodiques ou oscillants de la suite).
2
Pour chaque candidat $a$ , construire explicitement une extraction $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante telle que $x_{\varphi(n)} \to a$ , en justifiant la convergence $d(x_{\varphi(n)}, a) \to 0$ .
3
Vérifier qu'aucune autre valeur d'adhérence n'est possible : montrer que toute sous-suite convergente a nécessairement sa limite dans l'ensemble des candidats identifiés (argument d'exhaustivité ou de compacité).
4
Conclure en listant l'ensemble des valeurs d'adhérence et en précisant, le cas échéant, si la suite converge (unique valeur d'adhérence) ou diverge (plusieurs valeurs d'adhérence).

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Exercice d'exemple

Trouver toutes les valeurs d'adhérence de la suite $((-1)^n)_{n \geq 0}$ dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ .

Étape 1 —

Identifier les candidats naturels pour les valeurs d'adhérence (points limites évidents, valeurs de cluster, comportements périodiques ou oscillants de la suite).

La suite prend alternativement les valeurs $+1$ (pour $n$ pair) et $-1$ (pour $n$ impair). Les candidats naturels sont $a = 1$ et $a = -1$ .

Étape 2 —

Pour chaque candidat

a

, construire explicitement une extraction

\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}

strictement croissante telle que

x_{\varphi(n)} \to a

, en justifiant la convergence

d(x_{\varphi(n)}, a) \to 0

Pour $a = 1$ : prendre $\varphi(n) = 2n$ (extraction strictement croissante). Alors $x_{\varphi(n)} = (-1)^{2n} = 1 \to 1$ . Pour $a = -1$ : prendre $\varphi(n) = 2n+1$ . Alors $x_{\varphi(n)} = (-1)^{2n+1} = -1 \to -1$ .

Étape 3 —

Vérifier qu'aucune autre valeur d'adhérence n'est possible : montrer que toute sous-suite convergente a nécessairement sa limite dans l'ensemble des candidats identifiés (argument d'exhaustivité ou de compacité).

Toute sous-suite ne prend que les valeurs $+1$ et $-1$ . Si elle converge, sa limite appartient à $\{-1, 1\}$ (une suite convergente dans $\mathbb{R}$ est de Cauchy, donc stationnaire sur $\{\pm 1\}$ ). Aucune autre valeur n'est possible.

Étape 4 —

Conclure en listant l'ensemble des valeurs d'adhérence et en précisant, le cas échéant, si la suite converge (unique valeur d'adhérence) ou diverge (plusieurs valeurs d'adhérence).

L'ensemble des valeurs d'adhérence est $\{-1, 1\}$ . La suite diverge car elle admet deux valeurs d'adhérence distinctes.

Les valeurs d'adhérence de $((-1)^n)$ sont $\{-1, 1\}$ .

Application guidée

Trouver toutes les valeurs d'adhérence de la suite $x_n = \sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ .

Application autonome 1

Trouver toutes les valeurs d'adhérence de la suite $x_n = \frac{1 + (-1)^n}{2} + \frac{1}{n+1}$ dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ .

Application autonome 2

Trouver toutes les valeurs d'adhérence de la suite $x_n = \frac{n}{n+1}\cos(n\pi)$ dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ .

Application autonome 3

Dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ , montrer que $C_0$ (suites de réels convergeant vers $0$ ) est fermé dans $\ell^\infty$ (suites bornées), en caractérisant les valeurs d'adhérence de suites de $C_0$ dans $\ell^\infty$ . (Exercice 13 du Ch.1)

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