Comment montrer que la perte sèche est une fonction convexe du taux d'imposition ? | MetMat

Comment montrer que la perte sèche est une fonction convexe du taux d'imposition ?

En interprétant la convexité : chaque euro de taxe supplémentaire génère une perte sèche marginale croissante

Interpréter économiquement la convexité de la perte sèche en montrant que la perte sèche marginale (coût en efficacité d'un euro de taxe supplémentaire) est croissante.

L'objectif

Interpréter économiquement la convexité de la perte sèche en montrant que la perte sèche marginale (coût en efficacité d'un euro de taxe supplémentaire) est croissante.

Le principe

Quand le taux d'imposition passe de $t$ à $t + dt$ , les échanges qui cessent d'avoir lieu sont ceux dont le surplus est compris entre $t$ et $t + dt$ — des échanges d'autant plus mutuellement bénéfiques (surplus élevé) que $t$ est grand, ce qui rend la perte sèche marginale croissante avec $t$ .

La méthode

1
Rappeler que la perte sèche marginalé $\frac{d(PS)}{dt} = 2Kt$ est une fonction croissante de $t$ : chaque euro supplémentaire de taxe détruit plus de surplus que le précédent. En d'autres termes, le coût d'efficacité par euro de recette fiscale supplémentaire augmente avec le taux.
2
Intuition : lorsque le taux est bas, seuls les échanges de très faible surplus (entre la propension à payer et le coût marginal, l'écart est quasi nul) sont empêchés. Quand le taux monte, la taxe empêche des échanges de surplus croissant — des transactions de plus en plus mutuellement bénéfiques sont détruites.
3
Corollaire normatif : une légère baisse du taux d'un niveau élevé est particulièrement efficace — elle restaure en priorité les échanges les plus mutuellement bénéfiques. C'est pourquoi il est plus profitable de réduire un taux de 80 % à 70 % que de 10 % à 0 % en termes de gain d'efficacité par euro de recette perdue.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

La taxe sur le revenu du travail est à 40 %. Le gouvernement envisage de la porter à 41 % puis évalue une hausse alternative de 1 % à 2 %. Comparer les coûts d'efficacité marginaux à l'aide de la relation $PS \propto t^2$ .

Étape 1 —

Rappeler que la perte sèche marginalé

\frac{d(PS)}{dt} = 2Kt

est une fonction croissante de

t

: chaque euro supplémentaire de taxe détruit plus de surplus que le précédent. En d'autres termes, le coût d'efficacité par euro de recette fiscale supplémentaire augmente avec le taux.

Perte sèche marginale à $t = 1\ \%$ : $\Delta PS = K(2\%)^2 - K(1\%)^2 = K(4 - 1) \times 10^{-4} = 3K \times 10^{-4}$ .

Étape 2 —

Intuition : lorsque le taux est bas, seuls les échanges de très faible surplus (entre la propension à payer et le coût marginal, l'écart est quasi nul) sont empêchés. Quand le taux monte, la taxe empêche des échanges de surplus croissant — des transactions de plus en plus mutuellement bénéfiques sont détruites.

Perte sèche marginale à $t = 40\ \%$ : $\Delta PS = K(41\%)^2 - K(40\%)^2 = K(1681 - 1600) \times 10^{-4} = 81K \times 10^{-4}$ .

Étape 3 —

Corollaire normatif : une légère baisse du taux d'un niveau élevé est particulièrement efficace — elle restaure en priorité les échanges les plus mutuellement bénéfiques. C'est pourquoi il est plus profitable de réduire un taux de 80 % à 70 % que de 10 % à 0 % en termes de gain d'efficacité par euro de recette perdue.

La perte sèche marginale est 27 fois plus élevée quand on passe de 40 % à 41 % que quand on passe de 1 % à 2 %. À 40 %, chaque point de taxe supplémentaire détruit beaucoup plus d'efficacité économique. C'est l'argument central des partisans de la réduction des taux marginaux élevés d'imposition.

Application guidée

Interpréter économiquement pourquoi il est plus efficace de supprimer une taxe de 20 % sur un marché et d'utiliser l'assiette libérée pour créer deux taxes de 10 % sur deux marchés distincts.

Application autonome 1

Dans quel sens dit-on qu'il serait Pareto-inefficace de fixer un taux supérieur au sommet de la courbe de Laffer ? Relier à la convexité de la perte sèche.

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