Comment analyser l'équilibre de marché sous libre entrée des entreprises ? | MetMat

Comment analyser l'équilibre de marché sous libre entrée des entreprises ?

En montrant que la libre entrée et sortie conduit au profit nul $p_c = \bar{C}(\bar{q}) = c(\bar{q})$ , à une offre agrégée parfaitement élastique, et à un surplus entièrement capté par les consommateurs

Déterminer le prix d'équilibre de long terme $p_c$ sous libre entrée, la quantité produite par chaque entreprise $\bar{q}$ , le nombre d'entreprises actives, et calculer le surplus total capté par les consommateurs.

L'objectif

Le principe

Sous libre entrée, les profits sont nuls à l'équilibre de long terme : $p_c = \bar{C}(\bar{q}) = c(\bar{q})$ , c'est-à-dire que le prix est égal au minimum du coût moyen, où coût moyen et coût marginal se croisent.

La méthode

1
Trouver $\bar{q}$ (quantité par entreprise à l'optimum) : résoudre $\bar{C}'(q) = \frac{d\bar{C}}{dq}(q) = \bar{C}(q)/q$ , c'est-à-dire trouver l'intersection du coût marginal $c(q)$ et du coût moyen $\bar{C}(q) = C(q)/q$ . Cela correspond au minimum du coût moyen.
Comment représenter la structure de coûts d'une entreprise ?Voir
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En déduire le prix de concurrence $p_c$ : $p_c = \bar{C}(\bar{q}) = c(\bar{q})$ . Ce prix est unique et correspond au minimum du coût moyen. L'offre agrégée est parfaitement élastique (horizontale) à ce prix.
3
Calculer la quantité totale échangée : $Q^* = D(p_c)$ . Le nombre d'entreprises actives est $n^* = Q^*/\bar{q}$ (arrondi si nécessaire). Chaque entreprise produit $\bar{q}$ unités et réalise un profit nul.
Comment construire la demande agrégée à partir des demandes individuelles ?Voir
4
Calculer le surplus des consommateurs : puisque le surplus des producteurs est nul (profit nul), tout le surplus total est capté par les consommateurs. $SC = \int_{p_c}^{p_{max}} D(p)\, dp$ où $p_{max}$ est la propension à payer maximale. Le surplus total est maximal, illustrant l'efficacité de la concurrence parfaite.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Le marché du pain : chaque boulangerie a des coûts $C(q) = q^2 + 4$ (avec $q$ en centaines de baguettes/jour). La demande agrégée est $D(p) = 200 - 20p$ . Sous libre entrée, déterminer le prix d'équilibre $p_c$ , la quantité par boulangerie $\bar{q}$ , le nombre de boulangeries et le surplus des consommateurs.

Étape 1 —

Trouver $\bar{q}$ (quantité par entreprise à l'optimum) : résoudre

\bar{C}'(q) = \frac{d\bar{C}}{dq}(q) = \bar{C}(q)/q

, c'est-à-dire trouver l'intersection du coût marginal

c(q)

et du coût moyen

\bar{C}(q) = C(q)/q

. Cela correspond au minimum du coût moyen.

Coût marginal et coût moyen : $c(q) = C'(q) = 2q$ ; $\bar{C}(q) = C(q)/q = q + 4/q$ . Minimum du coût moyen : $\bar{C}'(q) = 1 - 4/q^2 = 0 \Rightarrow q^2 = 4 \Rightarrow \bar{q} = 2$ .

Étape 2 —

En déduire le prix de concurrence $p_c$ :

p_c = \bar{C}(\bar{q}) = c(\bar{q})

. Ce prix est unique et correspond au minimum du coût moyen. L'offre agrégée est parfaitement élastique (horizontale) à ce prix.

Prix de concurrence : $p_c = \bar{C}(2) = 2 + 4/2 = 4$ €. Vérification : $c(2) = 2 \times 2 = 4$ €. ✓

Étape 3 —

Calculer la quantité totale échangée :

Q^* = D(p_c)

. Le nombre d'entreprises actives est

n^* = Q^*/\bar{q}

(arrondi si nécessaire). Chaque entreprise produit

\bar{q}

unités et réalise un profit nul.

Quantité totale et nombre de boulangeries : $Q^* = D(4) = 200 - 80 = 120$ centaines de baguettes/jour. Nombre de boulangeries : $n^* = 120/2 = 60$ .

Étape 4 —

Calculer le surplus des consommateurs : puisque le surplus des producteurs est nul (profit nul), tout le surplus total est capté par les consommateurs.

SC = \int_{p_c}^{p_{max}} D(p)\, dp

où

p_{max}

est la propension à payer maximale. Le surplus total est maximal, illustrant l'efficacité de la concurrence parfaite.

Surplus des consommateurs : $p_{max}$ tel que $D(p) = 0 : p_{max} = 10$ . $SC = \frac{1}{2}(10 - 4) \times 120 = \frac{1}{2} \times 6 \times 120 = 360$ (unités monétaires). Surplus des producteurs = 0.

Sous libre entrée : $p_c = 4$ €, chaque boulangerie produit $\bar{q} = 2$ centaines de baguettes/jour, il y a 60 boulangeries actives, et le surplus des consommateurs est 360 unités monétaires (tout le surplus total).

Application guidée

Le marché des taxis dans une ville : $C(q) = \frac{1}{2}q^2 + 50$ (€, avec $q$ courses/jour). La demande est $D(p) = 1000 - 10p$ (courses/jour). Sous libre entrée, trouver l'équilibre de long terme.

Application autonome 1

Le marché de la livraison e-commerce : $C(q) = q^2 + 9$ (€/livreur/jour, $q$ = colis). Demande agrégée $D(p) = 5000 - 250p$ . Analyser l'équilibre sous libre entrée et l'effet d'une augmentation des coûts fixes à $F = 16$ (doublement du prix du carburant).

Application autonome 2

Le marché de la production agricole biologique : $C(q) = 2q^2 + 18$ (€/agriculteur, $q$ en quintaux). Demande $D(p) = 360 - 6p$ . Sous libre entrée, calculer l'équilibre et le surplus des consommateurs.

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En montrant que la libre entrée et sortie conduit au profit nul pc=Cˉ(qˉ)=c(qˉ)p_c = \bar{C}(\bar{q}) = c(\bar{q})pc​=Cˉ(qˉ​)=c(qˉ​), à une offre agrégée parfaitement élastique, et à un surplus entièrement capté par les consommateurs

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant que la libre entrée et sortie conduit au profit nul $p_c = \bar{C}(\bar{q}) = c(\bar{q})$ , à une offre agrégée parfaitement élastique, et à un surplus entièrement capté par les consommateurs