Comment construire la courbe d'offre individuelle d'une entreprise ? | MetMat

Comment construire la courbe d'offre individuelle d'une entreprise ?

En traçant la partie croissante des coûts marginaux au-dessus du minimum du coût moyen $\bar{C}(\bar{q})$

Construire la fonction d'offre individuelle $q^*(p)$ en déduisant pour chaque prix la quantité optimale produite par la firme.

L'objectif

Construire la fonction d'offre individuelle $q^*(p)$ en déduisant pour chaque prix la quantité optimale produite par la firme.

Le principe

La courbe d'offre individuelle d'une entreprise correspond à la courbe de coût marginal dès lors qu'il est profitable de produire : $q^*(p) = 0$ si $p < \bar{C}_{\min}$ , et $q^*(p) = c^{-1}(p)$ sur la partie croissante si $p \geq \bar{C}_{\min}$ .

La méthode

1
Calculer le coût marginal $c(q) = C'(q)$ et identifier son minimum $c(q_0)$ (le point où $c'(q_0) = 0$ , séparant la phase décroissante et croissante).
2
Calculer le coût moyen $\bar{C}(q) = C(q)/q$ et trouver son minimum $\bar{C}_{\min} = \bar{C}(\bar{q})$ (en résolvant $c(\bar{q}) = \bar{C}(\bar{q})$ ). Ce coût minimum est le seuil de prix en dessous duquel la firme reste fermée.
3
Écrire la fonction d'offre en deux parties : $q^*(p) = 0$ si $p < \bar{C}_{\min}$ ; $q^*(p) =$ solution de $c(q) = p$ sur la partie croissante (i.e. $q \geq q_0$ ) si $p \geq \bar{C}_{\min}$ .
4
Tracer la courbe d'offre dans le plan $(q, p)$ : nulle pour $p < \bar{C}_{\min}$ , puis coïncidant avec la branche croissante de $c(q)$ pour $p \geq \bar{C}_{\min}$ . Noter la discontinuité en $p = \bar{C}_{\min}$ : l'offre passe directement de 0 à $\bar{q}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Construire la courbe d'offre de la boulangerie ( $C(q) = 50 + q^2/10$ , $\bar{C}_{\min} \approx 4{,}47$ €).

Étape 1 —

Calculer le coût marginal

c(q) = C'(q)

et identifier son minimum

c(q_0)

(le point où

c'(q_0) = 0

, séparant la phase décroissante et croissante).

$c(q) = q/5$ (toujours croissant, $q_0 = 0$ ). Minimum des coûts marginaux : $c(0) = 0$ .

Étape 2 —

Calculer le coût moyen

\bar{C}(q) = C(q)/q

et trouver son minimum

\bar{C}_{\min} = \bar{C}(\bar{q})

(en résolvant

c(\bar{q}) = \bar{C}(\bar{q})

). Ce coût minimum est le seuil de prix en dessous duquel la firme reste fermée.

$\bar{C}_{\min} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$ €/baguette atteint en $\bar{q} \approx 22{,}4$ baguettes.

Étape 3 —

Écrire la fonction d'offre en deux parties :

q^*(p) = 0

p < \bar{C}_{\min}

;

q^*(p) =

solution de

c(q) = p

sur la partie croissante (i.e.

q \geq q_0

) si

p \geq \bar{C}_{\min}

Offre : $q^*(p) = 0$ si $p < 4{,}47$ €. Si $p \geq 4{,}47$ €, résoudre $c(q) = p$ sur la partie croissante : $q/5 = p \Rightarrow q^*(p) = 5p$ .

Étape 4 —

Tracer la courbe d'offre dans le plan

(q, p)

: nulle pour

p < \bar{C}_{\min}

, puis coïncidant avec la branche croissante de

c(q)

pour

p \geq \bar{C}_{\min}

. Noter la discontinuité en

p = \bar{C}_{\min}

: l'offre passe directement de 0 à

\bar{q}

Courbe : nulle jusqu'à 4,47 €, puis saut à $\bar{q} \approx 22{,}4$ baguettes, ensuite croissante selon $q^*(p) = 5p$ . Par exemple : $q^*(6) = 30$ , $q^*(8) = 40$ , $q^*(10) = 50$ .

$q^*(p) = 0$ si $p < 4{,}47$ €/baguette ; $q^*(p) = 5p$ si $p \geq 4{,}47$ €/baguette.

Application guidée

Construire la courbe d'offre de la ferme agricole ( $C(q) = 80 + 3q + q^2/8$ , $\bar{C}_{\min} \approx 9{,}32$ €/kg).

Application autonome 1

Pour la pizzeria (en long terme), supposons $c(q) = 2 + q/20$ €/pizza et $C(q) = 40 + 2q + q^2/40$ . Construire l'offre.

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En traçant la partie croissante des coûts marginaux au-dessus du minimum du coût moyen Cˉ(qˉ)\bar{C}(\bar{q})Cˉ(qˉ​)

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En traçant la partie croissante des coûts marginaux au-dessus du minimum du coût moyen $\bar{C}(\bar{q})$