Comment représenter la structure de coûts d'une entreprise ? | MetMat

Comment représenter la structure de coûts d'une entreprise ?

En distinguant coûts fixes, coût total, coût marginal et coût moyen, et en traçant leurs courbes

Décomposer la structure de coûts d'une entreprise en ses quatre composantes fondamentales et en tracer les courbes représentatives.

L'objectif

Décomposer la structure de coûts d'une entreprise en ses quatre composantes fondamentales et en tracer les courbes représentatives.

Le principe

Le coût total $C(q)$ se décompose en coûts fixes $C_f$ (indépendants de la quantité) et coûts variables ; le coût marginal $c(q) = C'(q)$ mesure le coût d'une unité supplémentaire, et le coût moyen $\bar{C}(q) = C(q)/q$ mesure le coût par unité produite.

La méthode

1
Identifier les coûts fixes $C_f$ : ce sont les dépenses engagées dès que la production est positive (loyer, machines, licences), indépendantes de la quantité produite $q$ . On pose $C(0) = 0$ et $\lim_{q \to 0^+} C(q) = C_f > 0$ .
2
Écrire la fonction de coût total $C(q)$ pour $q > 0$ sous la forme $C(q) = C_f + C_v(q)$ , où $C_v(q)$ est la partie variable croissante avec $q$ .
3
Calculer le coût marginal $c(q) = C'(q)$ . Par hypothèse, $c$ est d'abord décroissant jusqu'au minimum en $q_0$ (économies d'échelle), puis croissant et tendant vers $+\infty$ (rendements décroissants).
4
Calculer le coût moyen $\bar{C}(q) = C(q)/q$ . Pour les faibles quantités, $\bar{C}$ est élevé (impact fort des coûts fixes) ; il décroît puis remonte, en formant une courbe en U.
5
Tracer les quatre courbes sur deux graphiques : (1) $C(q)$ en fonction de $q$ (coûts totaux) ; (2) $c(q)$ et $\bar{C}(q)$ en fonction de $q$ (coûts unitaires). Vérifier visuellement la forme des courbes et repérer le minimum de $\bar{C}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Une pizzeria a pour coûts : location du matériel 40 €/jour (coût fixe), matières premières 2 €/pizza (coût variable proportionnel), main-d'œuvre 30 €/jour par employé. Avec 2 employés produisant 32 pizzas/jour, décrire les quatre fonctions de coûts.

Étape 1 —

Identifier les coûts fixes

C_f

: ce sont les dépenses engagées dès que la production est positive (loyer, machines, licences), indépendantes de la quantité produite

q

. On pose

C(0) = 0

\lim_{q \to 0^+} C(q) = C_f > 0

Coûts fixes : $C_f = 40 + 2 \times 30 = 100$ €/jour (location + 2 employés fixes une fois la décision d'ouvrir prise).

Étape 2 —

Écrire la fonction de coût total

C(q)

pour

q > 0

sous la forme

C(q) = C_f + C_v(q)

, où

C_v(q)

est la partie variable croissante avec

q

Coût total pour $q$ pizzas (avec main-d'œuvre variable) : on simplifie en posant $C(q) = 100 + 2q$ € pour l'exemple à 2 employés fixes, soit $C(32) = 100 + 64 = 164$ €.

Étape 3 —

Calculer le coût marginal

c(q) = C'(q)

. Par hypothèse,

c

est d'abord décroissant jusqu'au minimum en

q_0

(économies d'échelle), puis croissant et tendant vers

+\infty

(rendements décroissants).

Coût marginal : $c(q) = C'(q) = 2$ €/pizza (constant dans ce modèle simplifié, correspondant uniquement aux matières premières).

Étape 4 —

Calculer le coût moyen

\bar{C}(q) = C(q)/q

. Pour les faibles quantités,

\bar{C}

est élevé (impact fort des coûts fixes) ; il décroît puis remonte, en formant une courbe en U.

Coût moyen : $\bar{C}(q) = C(q)/q = 100/q + 2$ . Pour $q = 32$ : $\bar{C}(32) = 100/32 + 2 \approx 5{,}13$ €/pizza.

Étape 5 —

Tracer les quatre courbes sur deux graphiques : (1)

C(q)

en fonction de

q

(coûts totaux) ; (2)

c(q)

\bar{C}(q)

en fonction de

q

(coûts unitaires). Vérifier visuellement la forme des courbes et repérer le minimum de

\bar{C}

Graphiquement : $C(q)$ est une droite de pente 2 s'intercalant en 100 ; $c(q)$ est une horizontale à 2 ; $\bar{C}(q)$ est une hyperbole décroissante tendant vers 2 par le haut. Le coût moyen est toujours supérieur au coût marginal ici, confirmant qu'il n'y a pas d'intersection pour $q > 0$ .

$C(q) = 100 + 2q$ , $c(q) = 2$ €/pizza, $\bar{C}(q) = 100/q + 2$ €/pizza. Les coûts fixes (100 €/j) tirent le coût moyen au-dessus du coût marginal pour tout niveau de production.

Application guidée

Une boulangerie a pour fonction de coût $C(q) = 50 + q^2/10$ (en euros, $q$ en baguettes). Calculer et interpréter les quatre composantes de coûts.

Application autonome 1

Une usine textile a pour coût $C(q) = 200 + 4q + q^2/20$ (€, $q$ en rouleaux de tissu). Identifier les quatre fonctions et le point $q_0$ de minimum des coûts marginaux.

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