Comment construire la demande agrégée à partir des demandes individuelles ? | MetMat

Comment construire la demande agrégée à partir des demandes individuelles ?

En additionnant les demandes individuelles pour chaque niveau de prix : $D(p) = \sum_i D_i(p)$ , puis en calculant le surplus agrégé comme l'aire sous la courbe de demande agrégée

Construire la fonction de demande de marché $D(p) = \sum_i D_i(p)$ à partir des demandes individuelles et calculer le surplus agrégé des consommateurs.

L'objectif

Construire la fonction de demande de marché $D(p) = \sum_i D_i(p)$ à partir des demandes individuelles et calculer le surplus agrégé des consommateurs.

Le principe

La demande agrégée s'obtient par sommation horizontale : pour chaque prix, on additionne les quantités demandées par tous les consommateurs. Le surplus agrégé est l'aire comprise entre la courbe de demande et la droite de prix.

La méthode

1
Pour chaque consommateur $i$ , identifier la fonction de demande individuelle $D_i(p)$ . Vérifier si tous les consommateurs sont actifs à un prix donné (certains peuvent avoir une propension maximale à payer inférieure au prix courant et ne rien demander).
2
Sommer les demandes individuelles : $D(p) = \sum_{i} D_i(p)$ , en tenant compte des éventuelles ruptures de pente (lorsqu'un consommateur sort du marché à un certain seuil de prix). La courbe agrégée peut présenter des coudes.
3
Calculer le surplus agrégé au prix de marché $p^*$ : $S = \int_{p^*}^{p_{\max}} D(p)\, \mathrm{d}p$ , soit géométriquement l'aire du triangle (ou trapèze) au-dessus du prix $p^*$ et sous la courbe de demande agrégée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Deux consommateurs ont les demandes $D_1(p) = 10 - p$ et $D_2(p) = 8 - p$ (quantités nulles si négatives). Construire la demande agrégée et calculer le surplus agrégé au prix $p^* = 4$ .

Étape 1 —

Pour chaque consommateur

i

, identifier la fonction de demande individuelle

D_i(p)

. Vérifier si tous les consommateurs sont actifs à un prix donné (certains peuvent avoir une propension maximale à payer inférieure au prix courant et ne rien demander).

Les deux consommateurs sont actifs pour $p < 8$ (D2 sort du marché à $p = 8$ ) et $p < 10$ (D1 sort à $p = 10$ ). Pour $p \leq 8$ : $D(p) = (10 - p) + (8 - p) = 18 - 2p$ . Pour $8 < p \leq 10$ : $D(p) = 10 - p$ .

Étape 2 —

Sommer les demandes individuelles :

D(p) = \sum_{i} D_i(p)

, en tenant compte des éventuelles ruptures de pente (lorsqu'un consommateur sort du marché à un certain seuil de prix). La courbe agrégée peut présenter des coudes.

À $p^* = 4$ : $D(4) = 18 - 8 = 10$ . Le surplus de D1 est $\frac{1}{2}(10-4) \times 6 = 18$ et celui de D2 est $\frac{1}{2}(8-4) \times 4 = 8$ .

Étape 3 —

Calculer le surplus agrégé au prix de marché

p^*

S = \int_{p^*}^{p_{\max}} D(p)\, \mathrm{d}p

, soit géométriquement l'aire du triangle (ou trapèze) au-dessus du prix

p^*

et sous la courbe de demande agrégée.

Le surplus agrégé est $S = 18 + 8 = 26$ , ou directement : aire du triangle sous la demande agrégée $= \frac{1}{2} \times 10 \times (9 - 4) = 25$ (en intégrant $18 - 2p$ de 4 à 9, soit $\int_4^9 (18 - 2p)\,\mathrm{d}p = [18p - p^2]_4^9 = (162 - 81) - (72 - 16) = 81 - 56 = 25$ ).

$D(p) = 18 - 2p$ pour $p \leq 8$ , $D(p) = 10 - p$ pour $8 < p \leq 10$ . Surplus agrégé à $p^* = 4$ : $S = 26$ .

Application guidée

En France ( $p_F = 1{,}5$ €/kg, $Q_F = 200\,000$ t) et en Allemagne ( $p_A = 1$ €/kg, $Q_A = 400\,000$ t), la demande de pommes de terre est linéaire. Construire la demande agrégée en supposant des élasticités de 0,3 dans chaque pays.

Application autonome 1

Trois consommateurs ont des propensions maximales à payer de 10, 7 et 4 € pour une unité d'un bien indivisible. Construire la demande agrégée et calculer le surplus total au prix $p^* = 5$ €.

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En additionnant les demandes individuelles pour chaque niveau de prix : D(p)=∑iDi(p)D(p) = \sum_i D_i(p)D(p)=∑i​Di​(p), puis en calculant le surplus agrégé comme l'aire sous la courbe de demande agrégée

Pour comprendre, fais des exercices !

En additionnant les demandes individuelles pour chaque niveau de prix : $D(p) = \sum_i D_i(p)$ , puis en calculant le surplus agrégé comme l'aire sous la courbe de demande agrégée