Comment lire l'impact de l'élasticité-prix sur le budget alloué à un bien ? | MetMat

Comment lire l'impact de l'élasticité-prix sur le budget alloué à un bien ?

En calculant $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} = D(1 - e_D)$ et en distinguant les trois cas : $e_D < 1$ (budget croît avec le prix), $e_D = 1$ (budget constant), $e_D > 1$ (budget décroît avec le prix)

Déterminer comment évolue la dépense totale $B(p) = p \cdot D(p)$ d'un consommateur lorsque le prix varie, en utilisant le signe de $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} = D(1 - e_D)$ .

L'objectif

Déterminer comment évolue la dépense totale $B(p) = p \cdot D(p)$ d'un consommateur lorsque le prix varie, en utilisant le signe de $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} = D(1 - e_D)$ .

Le principe

La dérivée de la dépense totale par rapport au prix s'écrit $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} = D(p)(1 - e_D)$ : son signe dépend uniquement de la comparaison de $e_D$ à 1.

La méthode

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Calculer la dépense totale $B(p) = p \cdot D(p)$ et en prendre la dérivée par rapport au prix : $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} = D(p) + p \cdot D'(p) = D(p)\left(1 + \frac{p \cdot D'(p)}{D(p)}\right) = D(p)(1 - e_D)$ .
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Comparer $e_D$ à 1 pour conclure : si $e_D < 1$ (demande inélastique), $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} > 0$ , donc le budget alloué au bien augmente avec le prix. Si $e_D = 1$ (élasticité unitaire), $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} = 0$ , la dépense est constante. Si $e_D > 1$ (demande élastique), $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} < 0$ , la dépense diminue avec le prix.
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Interpréter le résultat selon le contexte : pour un bien de nécessité (élasticité faible), une hausse de prix pèse davantage sur le budget ; pour un bien de luxe (élasticité forte), les consommateurs réduisent massivement leurs achats et la dépense totale baisse.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Le prix du tabac augmente de 10 %. L'élasticité-prix de court terme du tabac est estimée à $e_D = 0{,}3$ . Comment évolue la dépense des fumeurs en tabac ?

Étape 1 —

Calculer la dépense totale

B(p) = p \cdot D(p)

et en prendre la dérivée par rapport au prix :

\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} = D(p) + p \cdot D'(p) = D(p)\left(1 + \frac{p \cdot D'(p)}{D(p)}\right) = D(p)(1 - e_D)

On calcule le signe de $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} = D(1 - e_D) = D(1 - 0{,}3) = 0{,}7 \cdot D > 0$ .

Étape 2 —

Comparer

e_D

à 1 pour conclure : si

e_D < 1

(demande inélastique),

\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} > 0

, donc le budget alloué au bien augmente avec le prix. Si

e_D = 1

(élasticité unitaire),

\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} = 0

, la dépense est constante. Si

e_D > 1

(demande élastique),

\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} < 0

, la dépense diminue avec le prix.

Puisque $e_D = 0{,}3 < 1$ , la dérivée est positive : une hausse du prix de 10 % fait croître la dépense en tabac. Quantitativement, la hausse de dépense est approximativement de $10\% \times (1 - 0{,}3) = 7\%$ .

Étape 3 —

Interpréter le résultat selon le contexte : pour un bien de nécessité (élasticité faible), une hausse de prix pèse davantage sur le budget ; pour un bien de luxe (élasticité forte), les consommateurs réduisent massivement leurs achats et la dépense totale baisse.

Le tabac est un bien de première nécessité pour les fumeurs dépendants : la hausse de prix se répercute intégralement (et au-delà) en hausse de dépense, alourdissant leur budget.

La dépense en tabac augmente d'environ 7 % ( $e_D < 1$ ) : une hausse de prix accroît le budget tabac des fumeurs.

Application guidée

La demande d'insuline est $D(p) = 100/p$ , donc $e_D = 1$ . Comment évolue la dépense en insuline quand le prix double ?

Application autonome 1

Le prix des billets d'avion pour vols domestiques augmente de 15 %. L'élasticité-prix est $e_D = 2{,}5$ . Comment évolue le budget des voyageurs ?

Application autonome 2

La demande d'essence à court terme a une élasticité $e_D = 0{,}25$ . Si le prix de l'essence augmente de 20 %, comment évolue la part budgétaire des ménages consacrée à l'essence ?

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En calculant dBdp=D(1−eD)\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} = D(1 - e_D)dpdB​=D(1−eD​) et en distinguant les trois cas : eD<1e_D < 1eD​<1 (budget croît avec le prix), eD=1e_D = 1eD​=1 (budget constant), eD>1e_D > 1eD​>1 (budget décroît avec le prix)

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}p} = D(1 - e_D)$ et en distinguant les trois cas : $e_D < 1$ (budget croît avec le prix), $e_D = 1$ (budget constant), $e_D > 1$ (budget décroît avec le prix)