Comment exprimer et maximiser le surplus avec la propension totale à payer ? | MetMat

Comment exprimer et maximiser le surplus avec la propension totale à payer ?

En montrant que la quantité optimale est celle qui maximise le surplus $U_i(q) - pq$ (dérivée nulle en $q^*$ )

Retrouver la quantité optimale demandée en maximisant la fonction de surplus $U_i(q) - pq$ par dérivation.

L'objectif

Retrouver la quantité optimale demandée en maximisant la fonction de surplus $U_i(q) - pq$ par dérivation.

Le principe

Le surplus $U_i(q) - pq$ est maximum lorsque sa dérivée par rapport à $q$ est nulle, ce qui donne $U_i'(q^*) = u_i(q^*) = p$ : la condition de premier ordre est exactement l'égalisation de la propension marginale au prix.

La méthode

1
Écrire la fonction à maximiser : $f(q) = U_i(q) - pq$ , où $U_i(q) = \int_0^q u_i(x)\,\mathrm{d}x$ et $p$ est le prix de marché.
2
Calculer la dérivée par rapport à $q$ : $f'(q) = U_i'(q) - p = u_i(q) - p$ (car $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\int_0^q u_i(x)\,\mathrm{d}x = u_i(q)$ par le théorème fondamental du calcul).
3
Poser la condition d'optimalité $f'(q^*) = 0$ : $u_i(q^*) - p = 0$ , soit $u_i(q^*) = p$ . Résoudre pour $q^*$ .
4
Vérifier la condition du second ordre : $f''(q^*) = u_i'(q^*) < 0$ (car $u_i$ est décroissante). Cela confirme que $q^*$ est bien un maximum.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un consommateur a $U(q) = 12q - q^2$ . Le prix est $p = 4$ €. Maximisez le surplus.

Étape 1 —

Écrire la fonction à maximiser :

f(q) = U_i(q) - pq

, où

U_i(q) = \int_0^q u_i(x)\,\mathrm{d}x

p

est le prix de marché.

Fonction à maximiser : $f(q) = U(q) - pq = 12q - q^2 - 4q = 8q - q^2$ .

Étape 2 —

Calculer la dérivée par rapport à

q

f'(q) = U_i'(q) - p = u_i(q) - p

(car

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\int_0^q u_i(x)\,\mathrm{d}x = u_i(q)

par le théorème fondamental du calcul).

Dérivée : $f'(q) = 8 - 2q$ . Notons que $u(q) = U'(q) = 12 - 2q$ , donc $f'(q) = u(q) - p = (12-2q) - 4 = 8-2q$ ✓.

Étape 3 —

Poser la condition d'optimalité

f'(q^*) = 0

u_i(q^*) - p = 0

, soit

u_i(q^*) = p

. Résoudre pour

q^*

Condition d'optimalité : $8 - 2q^* = 0$ → $q^* = 4$ .

Étape 4 —

Vérifier la condition du second ordre :

f''(q^*) = u_i'(q^*) < 0

(car

u_i

est décroissante). Cela confirme que

q^*

est bien un maximum.

Second ordre : $f''(q) = -2 < 0$ ✓. Surplus maximal : $f(4) = 8 \times 4 - 16 = 16$ €.

La quantité optimale est $q^* = 4$ et le surplus maximal est 16 €.

Application guidée

Un individu a $u(x) = 15 - 3x$ comme propension marginale à payer. Calculez $U(q)$ , puis maximisez le surplus pour $p = 6$ €.

Application autonome 1

Un consommateur a $U(q) = 100\sqrt{q}$ et fait face à un prix $p = 10$ €. Montrez que la quantité optimale maximise bien le surplus.

Application autonome 2

Comparez deux consommateurs : A a $u_A(x) = 20 - x$ et B a $u_B(x) = 16 - 2x$ . Le prix est $p = 8$ €. Qui consomme plus ? Qui a le surplus le plus élevé ?

Application autonome 3

Le prix d'un service passe de $p_1 = 5$ € à $p_2 = 10$ €. Un consommateur a $u(x) = 30 - 2x$ . En maximisant le surplus à chaque prix, calculez la perte de bien-être.

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En montrant que la quantité optimale est celle qui maximise le surplus Ui(q)−pqU_i(q) - pqUi​(q)−pq (dérivée nulle en q∗q^*q∗)

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En montrant que la quantité optimale est celle qui maximise le surplus $U_i(q) - pq$ (dérivée nulle en $q^*$ )