Comment exprimer et maximiser le surplus avec la propension totale à payer ? | MetMat

Comment exprimer et maximiser le surplus avec la propension totale à payer ?

En calculant la propension totale à payer $U_i(q) = \int_0^q u_i(x)\,\mathrm{d}x$ et le surplus $\mathrm{SC}_i = U_i(q) - pq$

Calculer le surplus du consommateur en intégrant la propension marginale à payer pour obtenir la valeur totale du bien, puis en déduisant la dépense effective.

L'objectif

Calculer le surplus du consommateur en intégrant la propension marginale à payer pour obtenir la valeur totale du bien, puis en déduisant la dépense effective.

Le principe

La propension totale à payer $U_i(q)$ est l'intégrale de la propension marginale $u_i(x)$ de 0 à $q$ ; le surplus est $U_i(q) - pq$ , c'est-à-dire la différence entre ce que le consommateur aurait été prêt à payer et ce qu'il paie effectivement.

La méthode

1
Identifier la propension marginale à payer $u_i(x)$ (décroissante en $x$ ) et le prix de marché $p$ .
2
Calculer la propension totale à payer : $U_i(q) = \int_0^q u_i(x)\,\mathrm{d}x$ (aire sous la courbe de propension marginale entre 0 et $q$ ).
3
Exprimer le surplus du consommateur : $\text{SC}_i = U_i(q) - p \cdot q$ , où $p \cdot q$ est la dépense totale au prix $p$ pour la quantité $q$ .
4
Substituer la quantité optimale $q^* = u_i^{-1}(p)$ (obtenue en résolvant $u_i(q) = p$ ) pour obtenir le surplus maximal.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un consommateur a $u(x) = 10 - 2x$ . Le prix est $p = 4$ €. Calculez $U(q^*)$ et le surplus.

Étape 1 —

Identifier la propension marginale à payer

u_i(x)

(décroissante en

x

) et le prix de marché

p

Propension marginale : $u(x) = 10 - 2x$ , $p = 4$ €.

Étape 2 —

Calculer la propension totale à payer :

U_i(q) = \int_0^q u_i(x)\,\mathrm{d}x

(aire sous la courbe de propension marginale entre 0 et

q

$U(q) = \int_0^q (10 - 2x)\,\mathrm{d}x = \left[10x - x^2\right]_0^q = 10q - q^2$ .

Étape 3 —

Exprimer le surplus du consommateur :

\text{SC}_i = U_i(q) - p \cdot q

, où

p \cdot q

est la dépense totale au prix

p

pour la quantité

q

Surplus : $\text{SC}(q) = U(q) - pq = 10q - q^2 - 4q = 6q - q^2$ .

Étape 4 —

Substituer la quantité optimale

q^* = u_i^{-1}(p)

(obtenue en résolvant

u_i(q) = p

) pour obtenir le surplus maximal.

Quantité optimale : $u(q^*) = p$ → $10 - 2q^* = 4$ → $q^* = 3$ . Surplus maximal : $\text{SC}(3) = 6 \times 3 - 9 = 18 - 9 = 9$ €.

$U(3) = 10 \times 3 - 9 = 21$ €. Dépense = $4 \times 3 = 12$ €. Surplus = $21 - 12 = 9$ €.

Application guidée

Une famille a $u(x) = 20 - x$ pour l'eau (en €/m³). Le prix est $p = 5$ €/m³. Calculez la propension totale à payer pour la quantité optimale et le surplus.

Application autonome 1

Un usager a $u(x) = \frac{12}{\sqrt{x}}$ pour des trajets en transport en commun (en €/trajet). Le prix est $p = 2$ €. Calculez $U(q^*)$ et le surplus.

Application autonome 2

Un consommateur a $u(x) = 30 - 3x$ pour des abonnements de presse numérique. Le prix est $p = 6$ €. Le prix passe ensuite à $p' = 12$ €. Calculez le surplus dans les deux cas et la perte.

Application autonome 3

La propension marginale à payer d'un agriculteur pour l'engrais est $u(x) = 50 - 5x$ (en €/kg). Le prix est $p = 10$ €/kg. Calculez la propension totale et le surplus.

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En calculant la propension totale à payer Ui(q)=∫0qui(x) dxU_i(q) = \int_0^q u_i(x)\,\mathrm{d}xUi​(q)=∫0q​ui​(x)dx et le surplus SCi=Ui(q)−pq\mathrm{SC}_i = U_i(q) - pqSCi​=Ui​(q)−pq

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant la propension totale à payer $U_i(q) = \int_0^q u_i(x)\,\mathrm{d}x$ et le surplus $\mathrm{SC}_i = U_i(q) - pq$