Comment relier la propension marginale à payer à la quantité demandée ? | MetMat

Comment relier la propension marginale à payer à la quantité demandée ?

En posant que la quantité demandée est celle qui égalise le prix et la propension marginale à payer : $u_i(q) = p$

Trouver la quantité optimale consommée par un individu en égalisant sa propension marginale à payer au prix de marché.

L'objectif

Trouver la quantité optimale consommée par un individu en égalisant sa propension marginale à payer au prix de marché.

Le principe

Un consommateur rationnel ajuste sa consommation jusqu'au point où la valeur de la dernière unité consommée (propension marginale à payer $u_i(q)$ ) est exactement égale au prix $p$ qu'il doit payer pour cette unité.

La méthode

1
Identifier la fonction de propension marginale à payer $u_i(q)$ du consommateur $i$ , qui est une fonction décroissante de la quantité $q$ .
2
Poser l'équation d'équilibre : $u_i(q^*) = p$ , où $p$ est le prix de marché et $q^*$ est la quantité demandée optimale.
3
Résoudre l'équation pour $q^*$ : isoler $q$ dans $u_i(q) = p$ .
4
Vérifier que $q^*$ est bien positif et que $u_i(q)$ est décroissante en $q^*$ (condition suffisante pour un maximum du surplus).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un consommateur a une propension marginale à payer pour l'eau $u(q) = 10 - 2q$ (en € par litre, $q$ en litres). Le prix de l'eau est $p = 4$ €/litre. Quelle est la quantité demandée ?

Étape 1 —

Identifier la fonction de propension marginale à payer

u_i(q)

du consommateur

i

, qui est une fonction décroissante de la quantité

q

Propension marginale à payer : $u(q) = 10 - 2q$ , décroissante avec $q$ .

Étape 2 —

Poser l'équation d'équilibre :

u_i(q^*) = p

, où

p

est le prix de marché et

q^*

est la quantité demandée optimale.

Équation d'équilibre : $u(q^*) = p$ → $10 - 2q^* = 4$ .

Étape 3 —

Résoudre l'équation pour

q^*

: isoler

q

dans

u_i(q) = p

Résolution : $2q^* = 6$ → $q^* = 3$ litres.

Étape 4 —

Vérifier que

q^*

est bien positif et que

u_i(q)

est décroissante en

q^*

(condition suffisante pour un maximum du surplus).

Vérification : $q^* = 3 > 0$ ✓. $u'(q) = -2 < 0$ , donc $u$ est bien décroissante ✓.

Le consommateur demande 3 litres d'eau.

Application guidée

La propension marginale à payer d'un étudiant pour des heures de streaming vidéo est $u(q) = 8 - q$ (en €/heure). L'abonnement coûte 3 €/heure d'utilisation effective. Combien d'heures consomme-t-il ?

Application autonome 1

Un consommateur a $u(q) = \frac{20}{q+1}$ comme propension marginale à payer pour un bien (en €). Le prix est $p = 5$ €. Trouvez la quantité demandée.

Application autonome 2

Une personne a une propension marginale à payer pour des séances de sport $u(q) = 12 - 3q$ (en €/séance). Trouvez la quantité demandée pour $p = 6$ € puis pour $p = 3$ €, et commentez.

Application autonome 3

Un agriculteur a une propension marginale à payer pour l'eau d'irrigation $u(q) = 100 - 5q$ (en centimes par m³). Le prix de l'eau est 25 centimes/m³. Quelle quantité irrigue-t-il ?

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En posant que la quantité demandée est celle qui égalise le prix et la propension marginale à payer : ui(q)=pu_i(q) = pui​(q)=p

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant que la quantité demandée est celle qui égalise le prix et la propension marginale à payer : $u_i(q) = p$