Comment standardiser une variable normale en utilisant $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ et la table de $\Phi$ ? | MetMat

Comment standardiser une variable normale en utilisant $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ et la table de $\Phi$ ?

En centrant et réduisant : $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ puis en lisant $\Phi$ dans la table

Calculer $P(a \leq X \leq b)$ pour $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ à l'aide de la table de $\Phi$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \sim \mathcal{N}(10, 4)$ . Calculer $P(8 \leq X \leq 13)$ en fonction de $\Phi$ .

L'objectif

Calculer $P(a \leq X \leq b)$ pour $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ à l'aide de la table de $\Phi$ .

Le principe

Si $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ avec $\sigma > 0$ , alors $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ ; en notant $\Phi$ la fonction de répartition de $\mathcal{N}(0,1)$ , $P(a \leq X \leq b) = \Phi\!\left(\dfrac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\dfrac{a - \mu}{\sigma}\right)$ , et $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

La méthode

1
Je pose $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$ et je justifie que $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ par stabilité affine.
2
Je réécris l'événement à l'aide de $Z$ : $\{a \leq X \leq b\} = \left\{\dfrac{a - \mu}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{b - \mu}{\sigma}\right\}$ .
3
J'exprime la probabilité avec $\Phi$ : $P(a \leq X \leq b) = \Phi\!\left(\dfrac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\dfrac{a - \mu}{\sigma}\right)$ .
4
Si une borne donne $\Phi$ d'un réel négatif, j'utilise $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ pour me ramener à la table (valeurs positives).
5
Je lis chaque valeur dans la table de $\Phi$ et j'effectue l'opération finale.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{N}(10, 4)$ . Calculer $P(8 \leq X \leq 13)$ en fonction de $\Phi$ .

Étape 1 —

Je pose

Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}

et je justifie que

Z \sim \mathcal{N}(0,1)

par stabilité affine.

$\sigma = 2$ donc $Z = \dfrac{X - 10}{2} \sim \mathcal{N}(0,1)$ .

Étape 2 —

Je réécris l'événement à l'aide de

Z

\{a \leq X \leq b\} = \left\{\dfrac{a - \mu}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{b - \mu}{\sigma}\right\}

$\{8 \leq X \leq 13\} = \left\{\dfrac{8 - 10}{2} \leq Z \leq \dfrac{13 - 10}{2}\right\} = \{-1 \leq Z \leq 1{,}5\}$ .

Étape 3 —

J'exprime la probabilité avec

\Phi

P(a \leq X \leq b) = \Phi\!\left(\dfrac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\dfrac{a - \mu}{\sigma}\right)

$P(8 \leq X \leq 13) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1)$ .

Étape 4 —

Si une borne donne

\Phi

d'un réel négatif, j'utilise

\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)

pour me ramener à la table (valeurs positives).

$\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$ , donc $P = \Phi(1{,}5) + \Phi(1) - 1$ .

Étape 5 —

Je lis chaque valeur dans la table de

\Phi

et j'effectue l'opération finale.

Avec la table, $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ et $\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332$ , soit $P \approx 0{,}9332 + 0{,}8413 - 1 = 0{,}7745$ .

$P(8 \leq X \leq 13) = \Phi(1{,}5) + \Phi(1) - 1 \approx 0{,}7745$ .

Application guidée

Soit $X \sim \mathcal{N}(0, 9)$ . Calculer $P(|X| \leq 6)$ en fonction de $\Phi$ .

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{N}(5, 1)$ . Déterminer le réel $a > 0$ tel que $P(X \leq 5 + a) = 0{,}975$ , sachant $\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975$ .

Application autonome 2

Soit $X \sim \mathcal{N}(3, 4)$ . Calculer $P(1 \leq X \leq 5)$ en se ramenant à $\Phi$ .

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{N}(10, 25)$ . Calculer $P(X \geq 15)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En centrant et réduisant : X−μσ∼N(0,1)\frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)σX−μ​∼N(0,1) puis en lisant Φ\PhiΦ dans la table

Pour comprendre, fais des exercices !

En centrant et réduisant : $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ puis en lisant $\Phi$ dans la table