Comment exploiter la caractérisation de la loi exponentielle par l'absence de mémoire ? | MetMat

Comment exploiter la caractérisation de la loi exponentielle par l'absence de mémoire ?

En appliquant $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$ pour reconnaître ou simplifier

Simplifier une probabilité conditionnelle ou reconnaître une loi exponentielle via l'absence de mémoire.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La durée de vie $X$ (en années) d'un composant suit $\mathcal{E}(1/10)$ . Sachant qu'il fonctionne depuis 5 ans, calculer la probabilité qu'il dure au moins 3 années de plus.

L'objectif

Simplifier une probabilité conditionnelle ou reconnaître une loi exponentielle via l'absence de mémoire.

Le principe

Une variable $X$ à densité, strictement positive presque sûrement, vérifie pour tous $s, t > 0$ l'identité $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$ si et seulement si $X$ suit une loi exponentielle. Pour $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ , on a donc $P(X > s + t \mid X > s) = e^{-\lambda t}$ .

La méthode

1
Je vérifie (ou j'admets l'hypothèse) que $X$ est à valeurs strictement positives et que $P(X > s) > 0$ .
2
J'applique l'absence de mémoire : $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$ .
3
Si je connais la loi de $X$ ( $\mathcal{E}(\lambda)$ ), je remplace $P(X > t)$ par $e^{-\lambda t}$ ; sinon je l'utilise pour caractériser la loi.
4
Je conclus sur la valeur de la probabilité cherchée ou sur la nature exponentielle de $X$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

La durée de vie $X$ (en années) d'un composant suit $\mathcal{E}(1/10)$ . Sachant qu'il fonctionne depuis 5 ans, calculer la probabilité qu'il dure au moins 3 années de plus.

Étape 1 —

Je vérifie (ou j'admets l'hypothèse) que

X

est à valeurs strictement positives et que

P(X > s) > 0

$X > 0$ presque sûrement et $P(X > 5) = e^{-5/10} > 0$ .

Étape 2 —

J'applique l'absence de mémoire :

P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)

Par absence de mémoire, $P(X > 5 + 3 \mid X > 5) = P(X > 3)$ .

Étape 3 —

Si je connais la loi de

X

(

\mathcal{E}(\lambda)

), je remplace

P(X > t)

par

e^{-\lambda t}

; sinon je l'utilise pour caractériser la loi.

Avec $\lambda = 1/10$ , $P(X > 3) = e^{-3/10}$ .

Étape 4 —

Je conclus sur la valeur de la probabilité cherchée ou sur la nature exponentielle de

X

La probabilité cherchée vaut $e^{-0{,}3}$ .

$P(X > 8 \mid X > 5) = e^{-0{,}3} \approx 0{,}7408$ .

Application guidée

Soit $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ . Montrer que $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$ pour tous $s, t > 0$ .

Application autonome 1

Soit $X$ une variable à densité à valeurs dans $]0,+\infty[$ vérifiant $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$ pour tous $s,t > 0$ (admis). On pose $G(t) = P(X > t)$ . Montrer que $G(t) = e^{-\lambda t}$ pour un certain $\lambda > 0$ .

Application autonome 2

La durée de vie $T$ d'une ampoule (en milliers d'heures) suit $\mathcal{E}(0{,}25)$ . Sachant qu'elle fonctionne depuis $3$ milliers d'heures, quelle est la probabilité qu'elle fonctionne encore $2$ milliers d'heures ?

Application autonome 3

Soit $X$ une variable à densité à valeurs dans $]0, +\infty[$ vérifiant $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$ pour tous $s, t > 0$ . On note $G(t) = P(X > t)$ . Montrer que $X$ suit une loi exponentielle.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)P(X>s+t∣X>s)=P(X>t) pour reconnaître ou simplifier

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$ pour reconnaître ou simplifier