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Comment exploiter la caractérisation de la loi exponentielle par l'absence de mémoire ?

En appliquant P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t) pour reconnaître ou simplifier

L'objectif

Simplifier une probabilité conditionnelle ou reconnaître une loi exponentielle via l'absence de mémoire.

Le principe

Une variable XX à densité, strictement positive presque sûrement, vérifie pour tous s,t>0s, t > 0 l'identité P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) si et seulement si XX suit une loi exponentielle. Pour X∼E(λ)X \sim \mathcal{E}(\lambda), on a donc P(X>s+t∣X>s)=e−λtP(X > s + t \mid X > s) = e^{-\lambda t}.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie (ou j'admets l'hypothèse) que XX est à valeurs strictement positives et que P(X>s)>0P(X > s) > 0.
  2. 2
    J'applique l'absence de mémoire : P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t).
  3. 3
    Si je connais la loi de XX (E(λ)\mathcal{E}(\lambda)), je remplace P(X>t)P(X > t) par e−λte^{-\lambda t} ; sinon je l'utilise pour caractériser la loi.
  4. 4
    Je conclus sur la valeur de la probabilité cherchée ou sur la nature exponentielle de XX.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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