Comment reconnaître et utiliser les lois usuelles $\mathcal{U}([a,b])$, $\mathcal{E}(\lambda)$, $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ et $\gamma(\nu)$ ? | MetMat

Comment reconnaître et utiliser les lois usuelles $\mathcal{U}([a,b])$ , $\mathcal{E}(\lambda)$ , $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ et $\gamma(\nu)$ ?

En identifiant la densité à celle de la loi uniforme $\mathcal{U}([a,b])$ puis en utilisant $E(X) = (a+b)/2$ et $V(X) = (b-a)^2/12$

L'objectif

Identifier $X \sim \mathcal{U}([a,b])$ et calculer directement ses probabilités, espérance et variance.

Le principe

$X \sim \mathcal{U}([a,b])$ ssi $X$ admet pour densité $f(t) = \frac{1}{b-a} \mathbf{1}_{[a,b]}(t)$ ; alors $E(X) = \frac{a+b}{2}$ , $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ , et pour $[c,d] \subset [a,b]$ , $P(c \leq X \leq d) = \frac{d-c}{b-a}$ .

La méthode

1
Je repère que la densité $f_X$ est constante, non nulle sur un intervalle borné $[a,b]$ et nulle ailleurs.
2
Je vérifie que la valeur de $f_X$ sur $[a,b]$ vaut $\dfrac{1}{b-a}$ , de sorte que $\int f_X = 1$ ; je conclus $X \sim \mathcal{U}([a,b])$ .
3
J'applique les formules tabulées $E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ et $V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$ .
4
Pour les probabilités, j'utilise $P(c \leq X \leq d) = \dfrac{d-c}{b-a}$ pour $[c,d] \subset [a,b]$ (et je tronque à $[a,b]$ sinon).

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Soit $X$ de densité $f(x) = \frac{1}{3} \mathbf{1}_{[2,5]}(x)$ . Reconnaître la loi de $X$ puis calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $P(3 \leq X \leq 4)$ .

Application guidée 2

Soit $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ . Déterminer $E(X^2)$ .

Application autonome 1

Soit $Y = 3X + 1$ avec $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ . Reconnaître la loi de $Y$ et donner $E(Y)$ , $V(Y)$ .

Application autonome 2

Soit $X$ de densité $f(x) = \tfrac{1}{4} \mathbf{1}_{[-2, 2]}(x)$ . Reconnaître la loi de $X$ puis calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $P(-1 \leq X \leq 1)$ .

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{U}([0, 6])$ . Calculer $E(X^2)$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En identifiant la densité à celle de la loi uniforme U([a,b])\mathcal{U}([a,b])U([a,b]) puis en utilisant E(X)=(a+b)/2E(X) = (a+b)/2E(X)=(a+b)/2 et V(X)=(b−a)2/12V(X) = (b-a)^2/12V(X)=(b−a)2/12

Évalue la méthode

En identifiant la densité à celle de la loi uniforme $\mathcal{U}([a,b])$ puis en utilisant $E(X) = (a+b)/2$ et $V(X) = (b-a)^2/12$