Comment reconnaître et utiliser les lois usuelles $\mathcal{U}([a,b])$, $\mathcal{E}(\lambda)$, $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ et $\gamma(\nu)$ ? | MetMat

Comment reconnaître et utiliser les lois usuelles $\mathcal{U}([a,b])$ , $\mathcal{E}(\lambda)$ , $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ et $\gamma(\nu)$ ?

En identifiant la densité à celle de la loi gamma $\gamma(\nu)$ puis en utilisant $E(X) = \nu$ et $V(X) = \nu$

Identifier $X \sim \gamma(\nu)$ et calculer $E(X)$ , $V(X)$ ou $E(X^k)$ via $\Gamma$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ de densité $f(x) = x e^{-x} \mathbf{1}_{x>0}$ . Reconnaître la loi de $X$ et calculer $E(X)$ , $V(X)$ .

L'objectif

Identifier $X \sim \gamma(\nu)$ et calculer $E(X)$ , $V(X)$ ou $E(X^k)$ via $\Gamma$ .

Le principe

$X \sim \gamma(\nu)$ (avec $\nu > 0$ ) ssi $X$ admet pour densité $f(t) = \dfrac{1}{\Gamma(\nu)} t^{\nu-1} e^{-t} \mathbf{1}_{t>0}$ , où $\Gamma(\nu) = \int_0^{+\infty} t^{\nu-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t$ ; alors $E(X) = \nu$ , $V(X) = \nu$ et $\Gamma(\nu+1) = \nu\,\Gamma(\nu)$ , $\Gamma(n+1) = n!$ pour $n \in \mathbb{N}$ .

La méthode

1
Je repère que la densité est nulle sur $]-\infty,0]$ et proportionnelle à $t^{\nu-1} e^{-t}$ sur $]0,+\infty[$ pour un certain $\nu > 0$ .
2
Je vérifie que la constante multiplicative vaut $\dfrac{1}{\Gamma(\nu)}$ (en calculant $\int_0^{+\infty} t^{\nu-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t = \Gamma(\nu)$ au besoin) et je conclus $X \sim \gamma(\nu)$ .
3
J'applique les formules tabulées $E(X) = \nu$ et $V(X) = \nu$ .
4
Pour un moment $E(X^k)$ , j'utilise le théorème de transfert et la relation $\Gamma(\nu + k) = (\nu + k - 1)(\nu + k - 2) \cdots \nu \, \Gamma(\nu)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X$ de densité $f(x) = x e^{-x} \mathbf{1}_{x>0}$ . Reconnaître la loi de $X$ et calculer $E(X)$ , $V(X)$ .

Étape 1 —

Je repère que la densité est nulle sur

]-\infty,0]

et proportionnelle à

t^{\nu-1} e^{-t}

sur

]0,+\infty[

pour un certain

\nu > 0

La densité est nulle pour $x \leq 0$ et de la forme $t^{\nu - 1} e^{-t}$ avec $\nu - 1 = 1$ soit $\nu = 2$ .

Étape 2 —

Je vérifie que la constante multiplicative vaut

\dfrac{1}{\Gamma(\nu)}

(en calculant

\int_0^{+\infty} t^{\nu-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t = \Gamma(\nu)

au besoin) et je conclus

X \sim \gamma(\nu)

$\Gamma(2) = 1! = 1$ , donc la constante $\frac{1}{\Gamma(2)} = 1$ convient : $X \sim \gamma(2)$ .

Étape 3 —

J'applique les formules tabulées

E(X) = \nu

V(X) = \nu

$E(X) = 2$ , $V(X) = 2$ .

Étape 4 —

Pour un moment

E(X^k)

, j'utilise le théorème de transfert et la relation

\Gamma(\nu + k) = (\nu + k - 1)(\nu + k - 2) \cdots \nu \, \Gamma(\nu)

Pas de moment d'ordre supérieur ici.

$X \sim \gamma(2)$ , $E(X) = 2$ , $V(X) = 2$ .

Application guidée

Soit $X \sim \gamma(3)$ . Calculer $E(X^2)$ .

Application autonome 1

Soit $X$ de densité $f(x) = C \sqrt{x}\, e^{-x} \mathbf{1}_{x>0}$ . Déterminer $C$ , reconnaître la loi puis donner $E(X)$ .

Application autonome 2

Soit $X$ de densité $f(x) = \tfrac{1}{2} x^2 e^{-x} \mathbf{1}_{x > 0}$ . Reconnaître la loi de $X$ et calculer $E(X)$ , $V(X)$ .

Application autonome 3

Soit $X \sim \gamma(4)$ . Calculer $E(X^3)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En identifiant la densité à celle de la loi gamma γ(ν)\gamma(\nu)γ(ν) puis en utilisant E(X)=νE(X) = \nuE(X)=ν et V(X)=νV(X) = \nuV(X)=ν

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant la densité à celle de la loi gamma $\gamma(\nu)$ puis en utilisant $E(X) = \nu$ et $V(X) = \nu$