Comment retrouver la loi de $X^2$ ou de $\varphi(X)$ pour $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone ? | MetMat

Comment retrouver la loi de $X^2$ ou de $\varphi(X)$ pour $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone ?

En revenant à la fonction de répartition de $\varphi(X)$ via $\varphi^{-1}$ , puis en dérivant

L'objectif

Déterminer la loi de $Y = \varphi(X)$ lorsque $\varphi$ est $\mathcal{C}^1$ strictement monotone sur le support de $X$ .

Le principe

Si $\varphi$ est $\mathcal{C}^1$ strictement monotone sur un intervalle $I$ contenant $X(\Omega)$ , alors $\varphi$ réalise une bijection de $I$ sur $\varphi(I)$ et, pour $y \in \varphi(I)$ , $F_{\varphi(X)}(y) = F_X(\varphi^{-1}(y))$ si $\varphi$ croît, $F_{\varphi(X)}(y) = 1 - F_X(\varphi^{-1}(y))$ si $\varphi$ décroît ; par dérivation $f_Y(y) = f_X(\varphi^{-1}(y)) |(\varphi^{-1})'(y)|$ .

La méthode

1
Je précise le support de $X$ et je vérifie que $\varphi$ est $\mathcal{C}^1$ strictement monotone sur ce support, puis je détermine l'intervalle image $J = \varphi(X(\Omega))$ .
2
Je distingue deux cas pour $y$ : si $y \in J$ je résous l'inéquation $\varphi(X) \leq y$ en utilisant $\varphi^{-1}$ ; sinon $F_Y(y)$ vaut $0$ ou $1$ .
3
J'écris $F_Y(y) = P(\varphi(X) \leq y)$ : si $\varphi$ est croissante, cela donne $F_X(\varphi^{-1}(y))$ ; si $\varphi$ est décroissante, cela donne $1 - F_X(\varphi^{-1}(y))$ (car $X$ est à densité, donc $P(X=c)=0$ ).
4
Je vérifie que $F_Y$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^1$ sauf en un nombre fini de points : $Y$ est donc à densité.
5
Je dérive pour obtenir $f_Y(y) = f_X(\varphi^{-1}(y)) |(\varphi^{-1})'(y)|$ sur $J$ , et je pose $f_Y(y) = 0$ ailleurs.

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Application guidée 1

Soit $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ . Déterminer la loi de $Y = -\ln(X)$ .

Application guidée 2

Soit $X$ de densité $f_X(x) = 2x \mathbf{1}_{[0,1]}(x)$ . Déterminer la loi de $Y = \sqrt{X}$ .

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ . Déterminer la loi de $Y = \lambda X$ .

Application autonome 2

Soit $X$ de densité $f_X(x) = \mathbf{1}_{[0, 1]}(x)$ . Déterminer la loi de $Y = X^3$ .

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$ . Déterminer la loi de $Y = aX + b$ avec $a > 0$ .

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En revenant à la fonction de répartition de φ(X)\varphi(X)φ(X) via φ−1\varphi^{-1}φ−1, puis en dérivant

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