Comment retrouver la loi de $X^2$ ou de $\varphi(X)$ pour $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone ? | MetMat

Comment retrouver la loi de $X^2$ ou de $\varphi(X)$ pour $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone ?

En traitant $X^2$ via $F_{X^2}(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})$ pour $y \geq 0$ , puis en dérivant

L'objectif

Déterminer la fonction de répartition puis la densité de $Y = X^2$ .

Le principe

Pour $y \geq 0$ , $\{X^2 \leq y\} = \{-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}\}$ , donc $F_{X^2}(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})$ ; par dérivation, une densité de $X^2$ est $f_{X^2}(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\bigl(f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})\bigr)$ pour $y > 0$ .

La méthode

1
Pour $y < 0$ , j'observe que $\{X^2 \leq y\} = \emptyset$ donc $F_{X^2}(y) = 0$ .
2
Pour $y \geq 0$ , j'écris $\{X^2 \leq y\} = \{-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}\}$ puis $F_{X^2}(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})$ .
3
Je vérifie que $F_{X^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^1$ sauf en un nombre fini de points.
4
Je dérive : $f_{X^2}(y) = \dfrac{1}{2\sqrt{y}}\bigl(f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})\bigr)$ pour $y > 0$ , et $f_{X^2}(y) = 0$ pour $y \leq 0$ .

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Application guidée 1

Soit $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Déterminer la densité de $Y = X^2$ .

Application guidée 2

Soit $X \sim \mathcal{U}([-1,1])$ . Déterminer la loi de $Y = X^2$ .

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{E}(1)$ de densité $f_X(x) = e^{-x} \mathbf{1}_{x>0}$ . Déterminer la densité de $Y = X^2$ .

Application autonome 2

Soit $X \sim \mathcal{U}([-1, 2])$ . Déterminer la densité de $Y = X^2$ .

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$ . Exprimer la fonction de répartition de $Y = X^2$ à l'aide de celle de $X$ .

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En traitant X2X^2X2 via FX2(y)=FX(y)−FX(−y)F_{X^2}(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})FX2​(y)=FX​(y​)−FX​(−y​) pour y≥0y \geq 0y≥0, puis en dérivant

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En traitant $X^2$ via $F_{X^2}(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})$ pour $y \geq 0$ , puis en dérivant