Comment déterminer la loi, la fonction de répartition et la densité de $aX + b$ avec $a \neq 0$ ?

En revenant à $F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX+b \leq x)$ selon le signe de $a$ , puis en dérivant

Établir la loi de $Y = aX + b$ (fonction de répartition et densité) à partir de celle de $X$, pour $a \neq 0$.

L'objectif

Établir la loi de $Y = aX + b$ (fonction de répartition et densité) à partir de celle de $X$ , pour $a \neq 0$ .

Le principe

Pour $a \neq 0$ , on a $F_{aX+b}(x) = F_X\!\left(\dfrac{x-b}{a}\right)$ si $a > 0$ et $F_{aX+b}(x) = 1 - F_X\!\left(\dfrac{x-b}{a}\right)$ si $a < 0$ (car $aX + b \leq x \iff X \geq \frac{x-b}{a}$ ). Par dérivation, une densité de $aX + b$ est $f_{aX+b}(x) = \dfrac{1}{|a|} f_X\!\left(\dfrac{x-b}{a}\right)$ .

La méthode

1
Je pose $Y = aX + b$ et j'écris $F_Y(x) = \mathbb{P}(Y \leq x) = \mathbb{P}(aX + b \leq x) = \mathbb{P}\!\left(aX \leq x - b\right)$ pour $x \in \mathbb{R}$ .
2
Je distingue selon le signe de $a$ : si $a > 0$ , $F_Y(x) = \mathbb{P}\!\left(X \leq \frac{x-b}{a}\right) = F_X\!\left(\frac{x-b}{a}\right)$ ; si $a < 0$ , l'inégalité se retourne et $F_Y(x) = \mathbb{P}\!\left(X \geq \frac{x-b}{a}\right) = 1 - F_X\!\left(\frac{x-b}{a}\right)$ (car $\mathbb{P}(X = \frac{x-b}{a}) = 0$ ).
3
Je dérive $F_Y$ par la règle de dérivation en chaîne : dans les deux cas, $f_Y(x) = \dfrac{1}{|a|} f_X\!\left(\dfrac{x-b}{a}\right)$ aux points où $F_X$ est $\mathcal{C}^1$ en $\frac{x-b}{a}$ .
4
Je reconnais éventuellement la loi de $Y$ (stabilité affine pour $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ et $\mathcal{U}[a,b]$ ) et je précise le support sur lequel la densité est non nulle.

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Application guidée 1

Soit $X \sim \mathcal{U}([0, 1])$ . Déterminer la loi de $Y = 3X - 1$ .

Application guidée 2

Soit $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ . Déterminer la loi de $Y = -X$ .

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$ de densité $f_X(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/2}$ . Déterminer la loi de $Y = \sigma X + \mu$ avec $\sigma > 0$ .

Application autonome 2

Soit $X \sim \mathcal{E}(2)$ . Déterminer la loi de $Y = 3X + 1$ .

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{U}([0, 1])$ . Déterminer la loi de $Y = -2X + 5$ .

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Comment déterminer la loi, la fonction de répartition et la densité de $aX + b$ avec $a \neq 0$ ? | MetMat

En revenant à FaX+b(x)=P(aX+b≤x)F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX+b \leq x)FaX+b​(x)=P(aX+b≤x) selon le signe de aaa, puis en dérivant

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En revenant à $F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX+b \leq x)$ selon le signe de $a$ , puis en dérivant