Comment calculer $\mathbb{P}(X \in I)$ pour une variable à densité et un intervalle $I$ donné ? | MetMat

Comment calculer $\mathbb{P}(X \in I)$ pour une variable à densité et un intervalle $I$ donné ?

En utilisant $\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b f_X(t)\,\mathrm{d}t$

L'objectif

Calculer la probabilité $\mathbb{P}(X \in I)$ pour une variable à densité $X$ et un intervalle $I \subset \mathbb{R}$ .

Le principe

Pour une variable aléatoire à densité $X$ : $\mathbb{P}(a < X \leq b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b f_X(t)\,\mathrm{d}t$ , et comme $\mathbb{P}(X = c) = 0$ pour tout $c \in \mathbb{R}$ , on peut inclure ou exclure indifféremment les bornes.

La méthode

1
J'identifie l'intervalle $I$ (borné ou non) et je choisis la méthode la plus adaptée : formule de la fonction de répartition si elle est connue explicitement, sinon intégration de la densité.
2
Si $F_X$ est disponible, je pose $\mathbb{P}(X \in [a, b]) = F_X(b) - F_X(a)$ (les bornes ne modifient pas la probabilité car $X$ est à densité).
3
Sinon, je calcule $\int_a^b f_X(t)\,\mathrm{d}t$ en utilisant la relation de Chasles sur les morceaux où $f_X$ a une expression simple, et en justifiant la convergence si une borne est infinie.
4
Je simplifie le résultat et j'interprète la valeur obtenue (en s'assurant qu'elle est bien dans $[0, 1]$ ).

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Soit $X \sim \mathcal{U}([0, 2])$ de densité $f_X(t) = \dfrac{1}{2}\mathbf{1}_{[0,2]}(t)$ . Calculer $\mathbb{P}(X \in [0{,}5\,;\,1{,}5])$ .

Application guidée 2

Soit $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ de fonction de répartition $F_X(x) = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$ . Calculer $\mathbb{P}(X > a)$ pour $a > 0$ .

Application autonome 1

Soit $X$ de densité $f_X(t) = 2t$ si $t \in [0, 1]$ , $0$ sinon. Calculer $\mathbb{P}\!\left(X \geq \dfrac{1}{2}\right)$ et $\mathbb{P}\!\left(\dfrac{1}{4} \leq X \leq \dfrac{3}{4}\right)$ .

Application autonome 2

Soit $X$ de densité $f(x) = 3x^2$ sur $[0,1]$ , nulle sinon. Calculer $P(1/2 \leq X \leq 1)$ par intégration.

Application autonome 3

Soit $X$ de fonction de répartition $F_X(x) = 1 - e^{-x}$ pour $x \geq 0$ , $F_X(x) = 0$ sinon. Calculer $P(1 \leq X \leq 3)$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En utilisant P(a≤X≤b)=FX(b)−FX(a)=∫abfX(t) dt\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b f_X(t)\,\mathrm{d}tP(a≤X≤b)=FX​(b)−FX​(a)=∫ab​fX​(t)dt

Évalue la méthode

En utilisant $\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b f_X(t)\,\mathrm{d}t$