Comment déterminer une densité de $X$ connaissant sa fonction de répartition $F_X$ ? | MetMat

Comment déterminer une densité de $X$ connaissant sa fonction de répartition $F_X$ ?

En dérivant $F_X$ là où elle est de classe $\mathcal{C}^1$ , puis en complétant aux points exceptionnels

Construire une densité $f_X$ associée à une variable aléatoire à densité donnée par sa fonction de répartition $F_X$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ telle que $F_X(x) = 0$ si $x < 0$ , $F_X(x) = x^2$ si $x \in [0, 1]$ et $F_X(x) = 1$ si $x > 1$ . Déterminer une densité $f_X$ de $X$ .

L'objectif

Construire une densité $f_X$ associée à une variable aléatoire à densité donnée par sa fonction de répartition $F_X$ .

Le principe

Si $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R} \setminus \{x_1, \dots, x_p\}$ , alors une densité de $X$ est $f_X(t) = F_X'(t)$ pour $t \notin \{x_1, \dots, x_p\}$ , prolongée arbitrairement en $0$ (par convention) aux points exceptionnels.

La méthode

1
Je m'assure que $X$ est bien à densité : $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^1$ sauf en un nombre fini de points que je repère.
2
Je calcule la dérivée $F_X'(t)$ sur chaque intervalle ouvert où $F_X$ est $\mathcal{C}^1$ , en dérivant l'expression correspondante.
3
Je prolonge $f_X$ par $0$ (ou toute autre valeur positive) aux points exceptionnels, la densité étant définie à un nombre fini de points près.
4
Je vérifie rapidement la cohérence : $f_X \geq 0$ sur $\mathbb{R}$ et $\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\,\mathrm{d}t = 1$ (par construction via $F_X$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X$ telle que $F_X(x) = 0$ si $x < 0$ , $F_X(x) = x^2$ si $x \in [0, 1]$ et $F_X(x) = 1$ si $x > 1$ . Déterminer une densité $f_X$ de $X$ .

Étape 1 —

Je m'assure que

X

est bien à densité :

F_X

est continue sur

\mathbb{R}

\mathcal{C}^1

sauf en un nombre fini de points que je repère.

$F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ (vérifiable en $0$ et $1$ ) et $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ : $X$ est à densité.

Étape 2 —

Je calcule la dérivée

F_X'(t)

sur chaque intervalle ouvert où

F_X

est

\mathcal{C}^1

, en dérivant l'expression correspondante.

Sur $]-\infty, 0[$ , $F_X'(t) = 0$ ; sur $]0, 1[$ , $F_X'(t) = 2t$ ; sur $]1, +\infty[$ , $F_X'(t) = 0$ .

Étape 3 —

Je prolonge

f_X

par

0

(ou toute autre valeur positive) aux points exceptionnels, la densité étant définie à un nombre fini de points près.

Je pose $f_X(t) = 2t$ pour $t \in ]0, 1[$ , $f_X(t) = 0$ pour $t \in ]-\infty, 0[ \cup ]1, +\infty[$ et $f_X(0) = f_X(1) = 0$ (prolongement arbitraire).

Étape 4 —

Je vérifie rapidement la cohérence :

f_X \geq 0

sur

\mathbb{R}

\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\,\mathrm{d}t = 1

(par construction via

F_X

$f_X \geq 0$ sur $\mathbb{R}$ et $\int_0^1 2t\,\mathrm{d}t = 1$ : $f_X$ est bien une densité de $X$ .

$f_X(t) = 2t$ si $t \in [0, 1]$ , $0$ sinon.

Application guidée

Soit $X$ de fonction de répartition $F_X(x) = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$ et $F_X(x) = 0$ pour $x < 0$ , avec $\lambda > 0$ . Déterminer une densité de $X$ .

Application autonome 1

Soit $X$ de fonction de répartition $F_X(x) = \dfrac{1}{1 + \mathrm{e}^{-x}}$ pour $x \in \mathbb{R}$ (loi logistique). Déterminer une densité de $X$ .

Application autonome 2

Soit $X$ telle que $F_X(x) = 0$ si $x < 0$ , $F_X(x) = 1 - (1 - x)^3$ si $x \in [0, 1]$ et $F_X(x) = 1$ si $x > 1$ . Déterminer une densité de $X$ .

Application autonome 3

Soit $X$ de fonction de répartition $F_X(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2}$ pour $x \geq 1$ et $F_X(x) = 0$ pour $x < 1$ . Déterminer une densité de $X$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En dérivant FXF_XFX​ là où elle est de classe C1\mathcal{C}^1C1, puis en complétant aux points exceptionnels

Pour comprendre, fais des exercices !

En dérivant $F_X$ là où elle est de classe $\mathcal{C}^1$ , puis en complétant aux points exceptionnels