Comment montrer qu'une variable aléatoire $X$ est à densité à partir de sa fonction de répartition ? | MetMat

Comment montrer qu'une variable aléatoire $X$ est à densité à partir de sa fonction de répartition ?

En vérifiant que $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $\mathcal{C}^1$ sauf en un nombre fini de points

L'objectif

Établir qu'une variable aléatoire $X$ donnée par sa fonction de répartition est à densité.

Le principe

Définition du B.O. : $X$ est une variable aléatoire à densité si et seulement si $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ éventuellement privé d'un ensemble fini de points.

La méthode

1
J'écris explicitement $F_X$ sur chacun des intervalles où elle a une expression simple, en repérant les points de raccord éventuels.
2
Je vérifie la continuité de $F_X$ sur $\mathbb{R}$ : continuité sur chaque intervalle ouvert, puis continuité aux points de raccord (limites à gauche = limites à droite).
3
Je vérifie que $F_X$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur chaque intervalle ouvert où elle est dérivable, et j'identifie le nombre fini de points exceptionnels (points de raccord où la dérivée peut ne pas exister).
Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?Voir
4
Je conclus : $F_X$ étant continue sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^1$ sauf en un nombre fini de points, $X$ est bien une variable aléatoire à densité.

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Application guidée 1

Soit $X$ une variable aléatoire dont la fonction de répartition est $F_X(x) = 0$ si $x < 0$ , $F_X(x) = x^2$ si $x \in [0, 1]$ et $F_X(x) = 1$ si $x > 1$ . Montrer que $X$ est à densité.

Application guidée 2

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $F_X(x) = 0$ pour $x < 0$ et $F_X(x) = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$ , avec $\lambda > 0$ . Montrer que $X$ est à densité.

Application autonome 1

Soit $X$ une variable aléatoire de fonction de répartition $F_X(x) = \dfrac{1}{1 + \mathrm{e}^{-x}}$ pour $x \in \mathbb{R}$ (loi logistique). Montrer que $X$ est à densité.

Application autonome 2

Soit $X$ une variable aléatoire de FdR $F_X(x) = 0$ si $x < 0$ , $F_X(x) = 1 - (1 - x)^2$ si $x \in [0, 1]$ , $F_X(x) = 1$ si $x > 1$ . Montrer que $X$ est à densité.

Application autonome 3

Soit $X$ de FdR $F_X(x) = 0$ si $x < 0$ , $F_X(x) = \sqrt{x}$ si $x \in [0, 1]$ , $F_X(x) = 1$ si $x > 1$ . Montrer que $X$ est à densité.

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En vérifiant que FXF_XFX​ est continue sur R\mathbb{R}R et de classe C1\mathcal{C}^1C1 sauf en un nombre fini de points

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