Comment exploiter l'équivalence entre existence de $E(X^2)$ et existence de $E(X)$ et $V(X)$ ? | MetMat

Comment exploiter l'équivalence entre existence de $E(X^2)$ et existence de $E(X)$ et $V(X)$ ?

En étudiant uniquement la convergence absolue de $\int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$

Justifier en une seule étude l'existence de l'espérance et de la variance d'une variable à densité.

L'objectif

Justifier en une seule étude l'existence de l'espérance et de la variance d'une variable à densité.

Le principe

Résultat admis du cours : $X$ admet une espérance et une variance si et seulement si $E(X^2)$ existe, c'est-à-dire si et seulement si $\int_{-\infty}^{+\infty} t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument.

La méthode

1
J'identifie la densité $f_X$ et son support, puis je forme l'intégrande $t^2 f_X(t)$ .
2
J'étudie la convergence absolue de $\int_{-\infty}^{+\infty}t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par domination, équivalent ou comparaison à une intégrale de Riemann.
Comment justifier l'existence d'une espérance par domination ou absolue convergence ?Voir
3
Si la convergence est établie, je conclus par équivalence (admise) que $E(X)$ et $V(X)$ existent simultanément ; sinon, je conclus que $V(X)$ n'existe pas.
4
Je peux ensuite calculer $E(X)$ , $E(X^2)$ puis $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ si le contexte le demande.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\frac{3}{t^4}\mathbf{1}_{t\geq 1}$ . Montrer que $X$ admet une variance.

Étape 1 —

J'identifie la densité

f_X

et son support, puis je forme l'intégrande

t^2 f_X(t)

Le support est $[1,+\infty[$ . On forme $t^2 f_X(t)=\frac{3}{t^2}$ sur $[1,+\infty[$ .

Étape 2 —

J'étudie la convergence absolue de

\int_{-\infty}^{+\infty}t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t

par domination, équivalent ou comparaison à une intégrale de Riemann.

L'intégrale $\int_1^{+\infty}\frac{3}{t^2}\,\mathrm{d}t$ converge (Riemann, $\alpha=2>1$ ), donc converge absolument.

Étape 3 —

Si la convergence est établie, je conclus par équivalence (admise) que

E(X)

V(X)

existent simultanément ; sinon, je conclus que

V(X)

n'existe pas.

Par équivalence admise, $E(X)$ et $V(X)$ existent simultanément.

Étape 4 —

Je peux ensuite calculer

E(X)

E(X^2)

puis

V(X)=E(X^2)-E(X)^2

si le contexte le demande.

On peut alors calculer $E(X)=\int_1^{+\infty}\frac{3}{t^3}\,\mathrm{d}t=\frac{3}{2}$ , $E(X^2)=\int_1^{+\infty}\frac{3}{t^2}\,\mathrm{d}t=3$ et $V(X)=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$ .

$V(X)$ existe et vaut $\dfrac{3}{4}$ .

Application guidée

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\frac{2}{t^3}\mathbf{1}_{t\geq 1}$ . Montrer que $X$ admet une espérance mais pas de variance.

Application autonome 1

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\frac{1}{2}e^{-|t|}$ sur $\mathbb{R}$ (loi de Laplace). Montrer que $X$ admet une variance.

Application autonome 2

Soit $X$ de densité $f_X(t) = \dfrac{6}{t^7} \mathbf{1}_{t \geq 1}$ . Montrer que $X$ admet une variance.

Application autonome 3

Soit $X$ de densité $f_X(t) = \dfrac{4}{t^5} \mathbf{1}_{t \geq 1}$ . Montrer que $X$ admet une espérance et une variance, et les calculer.

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En étudiant uniquement la convergence absolue de ∫t2fX(t) dt\int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t∫t2fX​(t)dt

Pour comprendre, fais des exercices !

En étudiant uniquement la convergence absolue de $\int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$