En vérifiant la convergence absolue de $\int g(t)f_X(t)\,\mathrm{d}t$ puis en calculant cette intégrale

Calculer l'espérance $E(g(X))$ d'une fonction d'une variable à densité sans avoir à déterminer la loi de $g(X)$ .

L'objectif

Calculer l'espérance $E(g(X))$ d'une fonction d'une variable à densité sans avoir à déterminer la loi de $g(X)$ .

Le principe

Théorème de transfert (admis) : si $X$ est à densité $f_X$ nulle hors de $]a,b[$ et $g$ continue sur $]a,b[$ sauf en un nombre fini de points, alors $E(g(X))$ existe si et seulement si $\int_a^b g(t)f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument ; dans ce cas $E(g(X))=\int_a^b g(t)f_X(t)\,\mathrm{d}t$ .

La méthode

1
J'identifie la densité $f_X$ , son support $]a,b[$ , ainsi que la fonction $g$ et je vérifie que $g$ est continue sur $]a,b[$ sauf en un nombre fini de points.
2
J'étudie la convergence absolue de $\int_a^b |g(t)|\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par majoration, équivalent ou comparaison à une intégrale de Riemann.
3
Si la convergence est absolue, j'applique le théorème de transfert pour écrire $E(g(X))=\int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ .
4
Je calcule cette intégrale par primitivation, intégration par parties ou changement de variable, et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X\sim \mathcal{U}([0,1])$ . Calculer $E(X^2)$ en utilisant le théorème de transfert.

Étape 1 —

J'identifie la densité

f_X

, son support

]a,b[

, ainsi que la fonction

g

et je vérifie que

g

est continue sur

]a,b[

sauf en un nombre fini de points.

La densité est $f_X(t)=\mathbf{1}_{[0,1]}(t)$ nulle hors de $]0,1[$ , et $g:t\mapsto t^2$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Les hypothèses du théorème de transfert sont vérifiées.

Étape 2 —

J'étudie la convergence absolue de

\int_a^b |g(t)|\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

par majoration, équivalent ou comparaison à une intégrale de Riemann.

L'intégrale $\int_0^1 t^2\,\mathrm{d}t$ porte sur un segment et son intégrande est continue, donc elle converge absolument.

Étape 3 —

Si la convergence est absolue, j'applique le théorème de transfert pour écrire

E(g(X))=\int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

Par transfert : $E(X^2)=\int_0^1 t^2\,\mathrm{d}t$ .

Étape 4 —

Je calcule cette intégrale par primitivation, intégration par parties ou changement de variable, et je conclus.

Je calcule $E(X^2)=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}$ .

$E(X^2)=\dfrac{1}{3}$ .

Application guidée

Soit $X\sim\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda>0$ . Calculer $E(e^{-X})$ .

Application autonome 1

Soit $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ . Calculer $E(X^2)$ .

Application autonome 2

Soit $X\sim\mathcal{U}([0,1])$ . Calculer $E(\ln(X))$ si elle existe.

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{E}(2)$ . Calculer $E(\sqrt{X})$ en utilisant le théorème de transfert.

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En vérifiant la convergence absolue de ∫g(t)fX(t) dt\int g(t)f_X(t)\,\mathrm{d}t∫g(t)fX​(t)dt puis en calculant cette intégrale

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En vérifiant la convergence absolue de $\int g(t)f_X(t)\,\mathrm{d}t$ puis en calculant cette intégrale