Comment justifier l'existence d'une espérance par domination ou absolue convergence ? | MetMat

Comment justifier l'existence d'une espérance par domination ou absolue convergence ?

En découpant l'intégrale et en appliquant les critères classiques d'intégrabilité (Riemann, équivalents)

Établir l'existence de $E(X)$ à l'aide des critères standards de convergence des intégrales impropres.

L'objectif

Établir l'existence de $E(X)$ à l'aide des critères standards de convergence des intégrales impropres.

Le principe

Les critères de convergence des intégrales impropres (comparaison à $\int \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ avec $\alpha>1$ en $+\infty$ , $\alpha<1$ en $0$ ) permettent de statuer sur la convergence absolue de $\int |t|f_X(t)\,\mathrm{d}t$ .

La méthode

1
Je découpe $\int_{-\infty}^{+\infty}|t|f_X(t)\,\mathrm{d}t$ en morceaux autour des singularités (bornes infinies, discontinuités de $f_X$ , zéros du support).
2
Sur chaque morceau impropre en $+\infty$ (ou $-\infty$ ), je cherche un équivalent de $|t|f_X(t)$ puis je compare à une intégrale de Riemann $\int^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ , convergente si et seulement si $\alpha>1$ .
3
Sur chaque morceau impropre en un point fini (typiquement $0$ ), je procède de même avec une Riemann $\int_0\frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ , convergente si et seulement si $\alpha<1$ .
4
Je conclus : si tous les morceaux convergent, alors $\int |t|f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge et $E(X)$ existe ; sinon $E(X)$ n'existe pas.

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Exercice d'exemple

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\frac{2}{t^3}\mathbf{1}_{t\geq 1}$ . Montrer que $X$ admet une espérance.

Étape 1 —

Je découpe

\int_{-\infty}^{+\infty}|t|f_X(t)\,\mathrm{d}t

en morceaux autour des singularités (bornes infinies, discontinuités de

f_X

, zéros du support).

Le support est $[1,+\infty[$ ; la seule singularité est en $+\infty$ . On étudie $\int_1^{+\infty} t\cdot \frac{2}{t^3}\,\mathrm{d}t=\int_1^{+\infty}\frac{2}{t^2}\,\mathrm{d}t$ .

Étape 2 —

Sur chaque morceau impropre en

+\infty

(ou

-\infty

), je cherche un équivalent de

|t|f_X(t)

puis je compare à une intégrale de Riemann

\int^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}

, convergente si et seulement si

\alpha>1

L'intégrande $\frac{2}{t^2}$ est équivalente à $\frac{2}{t^2}$ en $+\infty$ (Riemann avec $\alpha=2>1$ ), donc l'intégrale converge.

Étape 3 —

Sur chaque morceau impropre en un point fini (typiquement

0

), je procède de même avec une Riemann

\int_0\frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}

, convergente si et seulement si

\alpha<1

Pas de singularité en un point fini à traiter ici.

Étape 4 —

Je conclus : si tous les morceaux convergent, alors

\int |t|f_X(t)\,\mathrm{d}t

converge et

E(X)

existe ; sinon

E(X)

n'existe pas.

Donc $E(X)$ existe et vaut $\int_1^{+\infty}\frac{2}{t^2}\,\mathrm{d}t=\left[-\frac{2}{t}\right]_1^{+\infty}=2$ .

$E(X)=2$ existe.

Application guidée

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\frac{1}{\pi(1+t^2)}$ (loi de Cauchy). Montrer que $X$ n'admet pas d'espérance.

Application autonome 1

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}\mathbf{1}_{]0,1]}(t)$ . Montrer que $X$ admet une espérance.

Application autonome 2

Soit $X$ de densité $f_X(t) = \dfrac{c}{1 + t^4} \mathbf{1}_{t \geq 0}$ (avec $c > 0$ normalisation). Montrer que $X$ admet une espérance.

Application autonome 3

Soit $X$ de densité $f_X(t) = \dfrac{c}{t \ln^2 t} \mathbf{1}_{t \geq e}$ . Montrer que $X$ n'admet pas d'espérance.

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