Comment justifier l'existence d'une espérance par domination ou absolue convergence ? | MetMat

Comment justifier l'existence d'une espérance par domination ou absolue convergence ?

En majorant $|t|f_X(t)$ par une fonction positive intégrable

L'objectif

Justifier l'existence de l'espérance d'une variable aléatoire à densité sans calculer explicitement l'intégrale.

Le principe

Si $|t|f_X(t)\leq g(t)$ pour tout $t$ avec $g$ positive et $\int_{-\infty}^{+\infty} g(t)\,\mathrm{d}t$ convergente, alors $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument et $E(X)$ existe (résultat admis).

La méthode

1
J'identifie la densité $f_X$ et le support où $|t|f_X(t)$ est non nul.
2
Je cherche une majoration $|t|f_X(t)\leq g(t)$ avec $g\geq 0$ dont l'intégrale est explicitement convergente (exponentielle décroissante, fonction intégrable connue).
3
Je vérifie la convergence de $\int g(t)\,\mathrm{d}t$ en justifiant précisément les hypothèses (continuité, comportement aux bornes).
4
Je conclus par domination que $\int |t|\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge, donc $E(X)$ existe.

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\frac{1}{\pi(1+t^2)^2}$ sur $\mathbb{R}$ . Montrer que $X$ admet une espérance.

Application guidée 2

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\frac{1}{2}e^{-|t|}$ sur $\mathbb{R}$ (loi de Laplace). Montrer que $X$ admet une espérance.

Application autonome 1

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $[0,1]$ de densité $f_X$ continue et bornée par $M$ . Montrer que $E(X)$ existe.

Application autonome 2

Soit $X$ de densité $f_X(t) = \tfrac{3}{t^4} \mathbf{1}_{t \geq 1}$ . Montrer que $X$ admet une espérance.

Application autonome 3

Soit $X$ de densité $f_X(t) = C e^{-t^2/2}$ sur $\mathbb{R}$ . Montrer que $X$ admet une espérance.

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En majorant ∣t∣fX(t)|t|f_X(t)∣t∣fX​(t) par une fonction positive intégrable

Évalue la méthode

En majorant $|t|f_X(t)$ par une fonction positive intégrable