Comment montrer qu'une variable à densité admet une espérance et la calculer ? | MetMat

Comment montrer qu'une variable à densité admet une espérance et la calculer ?

En étudiant la convergence absolue de $\int t f_X(t)\,\mathrm{d}t$ puis en calculant l'intégrale

L'objectif

Démontrer l'existence de l'espérance d'une variable aléatoire $X$ à densité, puis la calculer explicitement.

Le principe

Une variable aléatoire $X$ de densité $f_X$ admet une espérance si et seulement si l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ est absolument convergente, et on a alors $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ .

La méthode

1
J'identifie la densité $f_X$ de $X$ et le support $\{t\in\mathbb{R} : f_X(t)\neq 0\}$ pour réduire l'intégrale à ce domaine.
2
J'étudie la convergence absolue de $\int_{-\infty}^{+\infty} |t|\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ en traitant séparément les bornes infinies et les points où $f_X$ n'est pas continue.
3
Si l'intégrale converge absolument, je conclus que $E(X)$ existe puis je calcule $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par primitivation, intégration par parties ou changement de variable.
4
Je donne la valeur exacte de $E(X)$ .

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Application guidée 1

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\mathbf{1}_{[0,1]}(t)$ (loi uniforme sur $[0,1]$ ). Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.

Application guidée 2

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\lambda e^{-\lambda t}\mathbf{1}_{t>0}$ avec $\lambda>0$ (loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ ). Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.

Application autonome 1

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}$ (loi $\mathcal{N}(0,1)$ ). Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.

Application autonome 2

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\frac{t}{2}\mathbf{1}_{[0,2]}(t)$ . Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.

Application autonome 3

Soit $X$ de densité $f(x) = 3 x^2$ sur $[0,1]$ , nulle sinon. Calculer $E(X)$ .

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En étudiant la convergence absolue de ∫tfX(t) dt\int t f_X(t)\,\mathrm{d}t∫tfX​(t)dt puis en calculant l'intégrale

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