Comment vérifier qu'une fonction $f$ est une densité de probabilité sur $\mathbb{R}$ ? | MetMat

Comment vérifier qu'une fonction $f$ est une densité de probabilité sur $\mathbb{R}$ ?

En vérifiant $f \geq 0$ , $f$ continue sauf en un nombre fini de points, et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1$

Montrer qu'une fonction $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une densité de probabilité, ou déterminer un paramètre pour qu'elle le soit.

L'objectif

Montrer qu'une fonction $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une densité de probabilité, ou déterminer un paramètre pour qu'elle le soit.

Le principe

Une fonction $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une densité de probabilité si et seulement si $f$ est positive sur $\mathbb{R}$ , continue sur $\mathbb{R}$ éventuellement privé d'un nombre fini de points, et vérifie $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f(t) \geq 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}$ , en distinguant les intervalles où $f$ est définie par des formules différentes.
2
Je vérifie que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ sauf éventuellement en un nombre fini de points que j'identifie explicitement.
3
Je calcule $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ via la relation de Chasles sur les intervalles où $f$ est non nulle, en justifiant la convergence des intégrales impropres.
4
Si l'intégrale vaut $1$ , je conclus que $f$ est une densité de probabilité ; sinon, je détermine la constante de normalisation appropriée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f$ définie par $f(t) = \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-|t|}$ pour tout $t \in \mathbb{R}$ est une densité de probabilité (loi de Laplace).

Étape 1 —

Je vérifie que

f(t) \geq 0

pour tout

t \in \mathbb{R}

, en distinguant les intervalles où

f

est définie par des formules différentes.

Pour tout $t \in \mathbb{R}$ , $\mathrm{e}^{-|t|} > 0$ et $\dfrac{1}{2} > 0$ , donc $f(t) > 0$ : $f$ est bien positive sur $\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Je vérifie que

f

est continue sur

\mathbb{R}

sauf éventuellement en un nombre fini de points que j'identifie explicitement.

La fonction $t \mapsto |t|$ est continue sur $\mathbb{R}$ , et $u \mapsto \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-u}$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; par composition, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (aucun point d'exception).

Étape 3 —

Je calcule

\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t

via la relation de Chasles sur les intervalles où

f

est non nulle, en justifiant la convergence des intégrales impropres.

Par parité de $f$ (car $|-t| = |t|$ ) : $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{+\infty} \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t = \lim_{A\to+\infty} [-\mathrm{e}^{-t}]_0^A = 1$ .

Étape 4 —

Si l'intégrale vaut

1

, je conclus que

f

est une densité de probabilité ; sinon, je détermine la constante de normalisation appropriée.

L'intégrale vaut $1$ , donc $f$ est bien une densité de probabilité sur $\mathbb{R}$ .

$f$ est une densité de probabilité sur $\mathbb{R}$ (loi de Laplace).

Application guidée

Déterminer la constante $c \in \mathbb{R}$ pour que $f(t) = \dfrac{c}{1+t^2}$ définisse une densité de probabilité sur $\mathbb{R}$ (loi de Cauchy).

Application autonome 1

Soit $f$ définie par $f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-t^2/2}$ pour $t \in \mathbb{R}$ . Vérifier que $f$ est la densité de la loi normale centrée réduite (on admet que $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t = \sqrt{2\pi}$ ).

Application autonome 2

Montrer que $f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x \in [0,1] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$ est une densité de probabilité.

Application autonome 3

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ pour $x \geq 1$ , $f(x) = 0$ sinon. Montrer que $f$ est une densité de probabilité.

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En vérifiant f≥0f \geq 0f≥0, fff continue sauf en un nombre fini de points, et ∫−∞+∞f(t) dt=1\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1∫−∞+∞​f(t)dt=1

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant $f \geq 0$ , $f$ continue sauf en un nombre fini de points, et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1$