Comment calculer la projection orthogonale $p_F(x)$ à partir d'une base orthonormée $(u_1,\dots,u_k)$ de $F$ ? | MetMat

Comment calculer la projection orthogonale $p_F(x)$ à partir d'une base orthonormée $(u_1,\dots,u_k)$ de $F$ ?

En décomposant $x=v+w$ avec $v\in F$ , $w\in F^{\perp}$ et en identifiant $v=p_F(x)$

L'objectif

Déterminer $p_F(x)$ en écrivant $x$ comme somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur orthogonal à $F$ .

Le principe

Tout espace euclidien se décompose en $E=F\oplus F^{\perp}$ ; l'unique décomposition $x=v+w$ avec $v\in F$ , $w\perp F$ donne $v=p_F(x)$ .

La méthode

1
Je détermine une base $(f_1,\dots,f_k)$ de $F$ (pas nécessairement orthonormée).
2
Je pose $v=\sum_{i=1}^k \alpha_i f_i\in F$ avec $(\alpha_1,\dots,\alpha_k)$ à déterminer.
3
J'écris la condition $x-v\in F^{\perp}$ , soit $\langle x-v,f_j\rangle=0$ pour tout $j\in\{1,\dots,k\}$ : cela donne un système linéaire en $\alpha_i$ .
4
Je résous le système et j'obtiens $p_F(x)=v$ .

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Dans $\mathbb{R}^3$ , calculer le projeté orthogonal de $x=(1,2,2)$ sur $F=\mathrm{Vect}((1,1,1))$ .

Application guidée 2

Dans $\mathbb{R}^3$ , soit $F=\mathrm{Vect}((1,0,1),(0,1,1))$ . Calculer $p_F((1,1,0))$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^3$ , soit $D=\mathrm{Vect}((2,1,2))$ . Calculer $p_{D^\perp}((3,0,3))$ .

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ , soit $F = \mathrm{Vect}((1, 1, 0), (0, 1, 1))$ . Calculer $p_F((3, 0, 3))$ .

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^3$ , soit $D = \mathrm{Vect}((1, 2, 2))$ . Calculer $p_D((3, 0, 0))$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En décomposant x=v+wx=v+wx=v+w avec v∈Fv\in Fv∈F, w∈F⊥w\in F^{\perp}w∈F⊥ et en identifiant v=pF(x)v=p_F(x)v=pF​(x)

Évalue la méthode

En décomposant $x=v+w$ avec $v\in F$ , $w\in F^{\perp}$ et en identifiant $v=p_F(x)$