Comment prouver que les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont deux à deux orthogonaux ? | MetMat

Comment prouver que les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont deux à deux orthogonaux ?

En exploitant $(\lambda-\mu)\langle x,y\rangle = 0$ pour $x\in E_\lambda$ , $y\in E_\mu$

Montrer que deux sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes d'un endomorphisme symétrique sont orthogonaux.

L'objectif

Montrer que deux sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes d'un endomorphisme symétrique sont orthogonaux.

Le principe

Pour $f$ symétrique, $x\in E_\lambda(f)$ , $y\in E_\mu(f)$ avec $\lambda\ne\mu$ , on écrit $\lambda\langle x,y\rangle = \langle f(x),y\rangle = \langle x,f(y)\rangle = \mu\langle x,y\rangle$ , donc $(\lambda-\mu)\langle x,y\rangle = 0$ , d'où $\langle x,y\rangle = 0$ .

La méthode

1
Je fixe deux valeurs propres distinctes $\lambda\ne\mu$ de l'endomorphisme symétrique $f$ et je prends $x\in E_\lambda(f)$ et $y\in E_\mu(f)$ quelconques.
2
Je calcule $\langle f(x),y\rangle = \langle \lambda x,y\rangle = \lambda\langle x,y\rangle$ d'une part, et $\langle x,f(y)\rangle = \langle x,\mu y\rangle = \mu\langle x,y\rangle$ d'autre part.
3
Par symétrie de $f$ , ces deux quantités sont égales : $\lambda\langle x,y\rangle = \mu\langle x,y\rangle$ , soit $(\lambda-\mu)\langle x,y\rangle = 0$ .
4
Comme $\lambda-\mu\ne 0$ , j'en déduis $\langle x,y\rangle = 0$ ; ceci étant valable pour tous $x\in E_\lambda$ , $y\in E_\mu$ , je conclus $E_\lambda(f)\perp E_\mu(f)$ .

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Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ . Montrer que les sous-espaces propres de $A$ (vue comme endomorphisme symétrique de $\mathbb{R}^2$ ) sont orthogonaux.

Étape 1 —

Je fixe deux valeurs propres distinctes

\lambda\ne\mu

de l'endomorphisme symétrique

f

et je prends

x\in E_\lambda(f)

y\in E_\mu(f)

quelconques.

$A$ est symétrique ; ses valeurs propres sont $\lambda = 4$ (avec vecteur propre $u=(1,1)$ ) et $\mu = 2$ (avec vecteur propre $v=(1,-1)$ ), $\lambda\ne\mu$ .

Étape 2 —

Je calcule

\langle f(x),y\rangle = \langle \lambda x,y\rangle = \lambda\langle x,y\rangle

d'une part, et

\langle x,f(y)\rangle = \langle x,\mu y\rangle = \mu\langle x,y\rangle

d'autre part.

$\langle Au,v\rangle = \langle 4u,v\rangle = 4\langle u,v\rangle$ et $\langle u,Av\rangle = \langle u,2v\rangle = 2\langle u,v\rangle$ .

Étape 3 —

Par symétrie de

f

, ces deux quantités sont égales :

\lambda\langle x,y\rangle = \mu\langle x,y\rangle

, soit

(\lambda-\mu)\langle x,y\rangle = 0

Par symétrie de $A$ en base canonique orthonormée, $\langle Au,v\rangle = \langle u,Av\rangle$ , d'où $(4-2)\langle u,v\rangle = 0$ .

Étape 4 —

Comme

\lambda-\mu\ne 0

, j'en déduis

\langle x,y\rangle = 0

; ceci étant valable pour tous

x\in E_\lambda

y\in E_\mu

, je conclus

E_\lambda(f)\perp E_\mu(f)

Donc $\langle u,v\rangle = 0$ . On vérifie en effet : $\langle (1,1),(1,-1)\rangle = 1-1 = 0$ , confirmant $E_4\perp E_2$ .

$E_4(A)\perp E_2(A)$ .

Application guidée

Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $\mathbb{R}^3$ admettant les valeurs propres distinctes $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ associées à des vecteurs propres $v_1, v_2, v_3$ . Montrer que $(v_1,v_2,v_3)$ est une famille orthogonale.

Application autonome 1

Soit $f$ symétrique de $\mathbb{R}^n$ et $u$ un vecteur non nul qui se décompose sur deux sous-espaces propres : $u = u_\lambda + u_\mu$ avec $u_\lambda\in E_\lambda$ , $u_\mu\in E_\mu$ , $\lambda\ne\mu$ . Exprimer $\|u\|^2$ en fonction de $\|u_\lambda\|$ et $\|u_\mu\|$ .

Application autonome 2

Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $E$ . Soient $x \in E_\lambda(f)$ et $y \in E_\mu(f)$ avec $\lambda \neq \mu$ . Montrer que $\langle x, y \rangle = 0$ .

Application autonome 3

Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $E$ admettant $0$ comme valeur propre. Soient $u \in \ker(f) \setminus \{0\}$ et $v \in E_\mu(f)$ avec $\mu \neq 0$ . Montrer que $u \perp v$ , puis en déduire que $\ker(f) \perp E_\mu(f)$ .

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En exploitant (λ−μ)⟨x,y⟩=0(\lambda-\mu)\langle x,y\rangle = 0(λ−μ)⟨x,y⟩=0 pour x∈Eλx\in E_\lambdax∈Eλ​, y∈Eμy\in E_\muy∈Eμ​

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En exploitant $(\lambda-\mu)\langle x,y\rangle = 0$ pour $x\in E_\lambda$ , $y\in E_\mu$