Comment montrer que si $F$ est stable par un endomorphisme symétrique, alors $F^{\perp}$ l'est aussi ? | MetMat

Comment montrer que si $F$ est stable par un endomorphisme symétrique, alors $F^{\perp}$ l'est aussi ?

En prenant $y\in F^\perp$ et $x\in F$ puis en utilisant $\langle x,f(y)\rangle=\langle f(x),y\rangle$

Établir que pour $f$ symétrique et $F$ sous-espace stable par $f$, le supplémentaire orthogonal $F^\perp$ est lui aussi stable par $f$.

L'objectif

Établir que pour $f$ symétrique et $F$ sous-espace stable par $f$ , le supplémentaire orthogonal $F^\perp$ est lui aussi stable par $f$ .

Le principe

Si $f$ est symétrique et si $f(F)\subset F$ , alors pour $y\in F^\perp$ et $x\in F$ on a $\langle x,f(y)\rangle = \langle f(x),y\rangle = 0$ (car $f(x)\in F$ et $y\in F^\perp$ ) ; donc $f(y)\in F^\perp$ .

La méthode

1
Je vérifie les deux hypothèses du théorème : $f$ est un endomorphisme symétrique de $E$ , et $F$ est un sous-espace de $E$ stable par $f$ (c'est-à-dire $f(F)\subset F$ ).
2
Je fixe un vecteur arbitraire $y\in F^\perp$ , et mon objectif est de montrer que $f(y)\in F^\perp$ , c'est-à-dire $\langle x,f(y)\rangle = 0$ pour tout $x\in F$ .
3
Soit $x\in F$ quelconque : par symétrie de $f$ , $\langle x,f(y)\rangle = \langle f(x),y\rangle$ . Or $f(x)\in F$ (stabilité) et $y\in F^\perp$ , donc $\langle f(x),y\rangle = 0$ .
4
On a donc $\langle x,f(y)\rangle = 0$ pour tout $x\in F$ , ce qui signifie $f(y)\in F^\perp$ ; ceci étant vrai pour tout $y\in F^\perp$ , je conclus $f(F^\perp)\subset F^\perp$ .

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Application guidée 1

Soit $E = \mathbb{R}^3$ usuel, $f$ l'endomorphisme symétrique de matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ en base canonique, et $F = \mathrm{Vect}(e_1,e_2)$ . Montrer que $F$ et $F^\perp$ sont stables par $f$ .

Application guidée 2

Soit $E$ euclidien de dimension $3$ , $f$ un endomorphisme symétrique de $E$ et $u$ un vecteur propre non nul de $f$ associé à la valeur propre $\lambda$ . Montrer que $(\mathbb{R}u)^\perp$ est stable par $f$ .

Application autonome 1

Soit $f$ symétrique et $\lambda$ une valeur propre de $f$ . Montrer que $E_\lambda(f)^\perp$ est stable par $f$ .

Application autonome 2

Soit $E = \mathbb{R}^3$ canonique et $f$ l'endomorphisme symétrique de matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $F = \mathrm{Vect}(e_3)$ et $F^{\perp} = \mathrm{Vect}(e_1, e_2)$ sont stables par $f$ .

Application autonome 3

Soit $p$ un projecteur orthogonal sur $F$ dans un espace euclidien $E$ . Montrer que $F^{\perp}$ est stable par $p$ .

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En prenant y∈F⊥y\in F^\perpy∈F⊥ et x∈Fx\in Fx∈F puis en utilisant ⟨x,f(y)⟩=⟨f(x),y⟩\langle x,f(y)\rangle=\langle f(x),y\rangle⟨x,f(y)⟩=⟨f(x),y⟩

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En prenant $y\in F^\perp$ et $x\in F$ puis en utilisant $\langle x,f(y)\rangle=\langle f(x),y\rangle$