Comment reconnaître un endomorphisme symétrique à partir de sa matrice en base orthonormée ? | MetMat

Comment reconnaître un endomorphisme symétrique à partir de sa matrice en base orthonormée ?

En écrivant la matrice de $f$ dans une base orthonormée et en vérifiant ${}^t A = A$

Reconnaître rapidement qu'un endomorphisme est symétrique (ou non) par un simple examen de sa matrice en base orthonormée.

L'objectif

Reconnaître rapidement qu'un endomorphisme est symétrique (ou non) par un simple examen de sa matrice en base orthonormée.

Le principe

Dans une base orthonormée $\mathcal{B}$ , $\langle f(x),y\rangle = {}^t X\, {}^t A\, Y$ et $\langle x,f(y)\rangle = {}^t X A Y$ ; $f$ est donc symétrique ssi ${}^t A = A$ (ATTENTION : cette équivalence est fausse en base non orthonormée).

La méthode

1
Je vérifie que la base $\mathcal{B}$ dans laquelle la matrice est écrite est bien orthonormée pour le produit scalaire considéré.
2
Je calcule la matrice $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ en écrivant en colonnes les coordonnées de chaque $f(e_j)$ dans $\mathcal{B}$ .
3
Je compare $A$ et ${}^t A$ : si $a_{ij}=a_{ji}$ pour tous $i,j$ , alors $A$ est symétrique, donc $f$ est symétrique ; sinon $f$ ne l'est pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique (base canonique orthonormée), on considère $f(x,y,z) = (x+2y,\ 2x+3y-z,\ -y+4z)$ . Montrer que $f$ est symétrique.

Étape 1 —

Je vérifie que la base

\mathcal{B}

dans laquelle la matrice est écrite est bien orthonormée pour le produit scalaire considéré.

La base canonique de $\mathbb{R}^3$ est orthonormée pour le produit scalaire canonique.

Étape 2 —

Je calcule la matrice

A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)

en écrivant en colonnes les coordonnées de chaque

f(e_j)

dans

\mathcal{B}

$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}$ en écrivant $f(e_1),f(e_2),f(e_3)$ en colonnes.

Étape 3 —

Je compare

A

{}^t A

: si

a_{ij}=a_{ji}

pour tous

i,j

, alors

A

est symétrique, donc

f

est symétrique ; sinon

f

ne l'est pas.

On a ${}^t A = A$ (les coefficients sont symétriques par rapport à la diagonale), donc $f$ est un endomorphisme symétrique de $\mathbb{R}^3$ .

$f$ est symétrique car sa matrice dans la base canonique (orthonormée) est symétrique.

Application guidée

Sur $\mathbb{R}^2$ usuel, montrer que $g(x,y) = (3x-y,\ 2x+y)$ n'est pas un endomorphisme symétrique.

Application autonome 1

Soit $E=\mathbb{R}^2$ muni du produit scalaire canonique et $f$ l'endomorphisme dont la matrice dans la base $\mathcal{B}'=((1,1),(1,-1))$ vaut $A' = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ . $f$ est-il symétrique ?

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^2$ muni du produit scalaire canonique, $f$ a pour matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ dans la base canonique (orthonormée). $f$ est-il symétrique ?

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, $f(x,y,z) = (x + y + z,\ x - z,\ x + z)$ . $f$ est-il symétrique ?

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En écrivant la matrice de fff dans une base orthonormée et en vérifiant tA=A{}^t A = AtA=A

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant la matrice de $f$ dans une base orthonormée et en vérifiant ${}^t A = A$