Comment montrer qu'un endomorphisme $f$ est symétrique via $\langle f(x),y\rangle = \langle x,f(y)\rangle$ ? | MetMat

Comment montrer qu'un endomorphisme $f$ est symétrique via $\langle f(x),y\rangle = \langle x,f(y)\rangle$ ?

En vérifiant $\langle f(x),y\rangle = \langle x,f(y)\rangle$ pour tous vecteurs $x,y$ de $E$

Prouver qu'un endomorphisme $f$ d'un espace euclidien $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ est symétrique directement à partir de la définition.

L'objectif

Prouver qu'un endomorphisme $f$ d'un espace euclidien $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ est symétrique directement à partir de la définition.

Le principe

Un endomorphisme $f$ de $E$ euclidien est symétrique ssi $\forall (x,y)\in E^2,\ \langle f(x),y\rangle = \langle x,f(y)\rangle$ ; j'exploite la bilinéarité et la symétrie de $\langle\cdot,\cdot\rangle$ pour ramener la vérification à des cas plus simples.

La méthode

1
Je fixe deux vecteurs quelconques $x$ et $y$ de $E$ et j'écris une expression de $f(x)$ et $f(y)$ (soit par la définition de $f$ , soit via ses coordonnées dans une base).
2
Je développe $\langle f(x), y\rangle$ par bilinéarité du produit scalaire et je simplifie.
3
Je développe $\langle x, f(y)\rangle$ de la même manière et je compare les deux expressions.
4
Je constate l'égalité $\langle f(x),y\rangle = \langle x,f(y)\rangle$ pour tous $x,y\in E$ , donc je conclus que $f$ est symétrique.

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Application guidée 1

Soit $E = \mathbb{R}^2$ muni du produit scalaire canonique et $f(x,y) = (2x+y,\ x+3y)$ . Montrer que $f$ est symétrique.

Application guidée 2

Soit $E$ euclidien et $a\in E$ fixé. Montrer que $f\colon x\mapsto \langle a,x\rangle\, a$ est un endomorphisme symétrique de $E$ .

Application autonome 1

Soit $E$ euclidien, $F$ un sous-espace de $E$ et $s_F$ la symétrie orthogonale par rapport à $F$ (donc $s_F = 2p_F - \mathrm{Id}$ où $p_F$ est la projection orthogonale sur $F$ ). Montrer que $s_F$ est symétrique.

Application autonome 2

Soit $E = \mathbb{R}^3$ canonique et $f(x, y, z) = (x + y, x + y + z, y + z)$ . Vérifier que $f$ est symétrique.

Application autonome 3

Soit $E = \mathbb{R}^2$ canonique et $f(x, y) = (3x - y, -x + 2y)$ . Vérifier que $f$ est symétrique.

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En vérifiant ⟨f(x),y⟩=⟨x,f(y)⟩\langle f(x),y\rangle = \langle x,f(y)\rangle⟨f(x),y⟩=⟨x,f(y)⟩ pour tous vecteurs x,yx,yx,y de EEE

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En vérifiant $\langle f(x),y\rangle = \langle x,f(y)\rangle$ pour tous vecteurs $x,y$ de $E$