En vérifiant $\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E$

L'objectif

Établir la diagonalisabilité d'un endomorphisme ou d'une matrice par un comptage de dimensions.

Le principe

$f$ est diagonalisable si et seulement si $\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E$ ; cette caractérisation évite d'expliciter une base.

La méthode

1
Je détermine le spectre $\mathrm{Sp}(f) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}$ .
2
Pour chaque $\lambda_i$ , je calcule $\dim E_{\lambda_i}(f) = \dim \ker(f - \lambda_i \mathrm{Id}_E)$ par résolution du système linéaire associé.
3
Je somme les dimensions : $S = \sum_{i=1}^p \dim E_{\lambda_i}(f)$ .
4
Si $S = \dim E$ , je conclus que $f$ est diagonalisable ; sinon $f$ ne l'est pas (on a toujours $S \leq \dim E$ ).

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Application guidée 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ . Déterminer si $A$ est diagonalisable.

Application guidée 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ . $A$ est-elle diagonalisable ?

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ . $A$ est-elle diagonalisable ?

Application autonome 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Déterminer si $A$ est diagonalisable.

Application autonome 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ . $A$ est-elle diagonalisable ?

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En vérifiant ∑λ∈Sp(f)dim⁡Eλ(f)=dim⁡E\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E∑λ∈Sp(f)​dimEλ​(f)=dimE

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En vérifiant $\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_\lambda(f) = \dim E$