Comment montrer qu'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre ? | MetMat

Comment montrer qu'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre ?

En menant une preuve par récurrence sur $k$

Redémontrer rigoureusement la liberté de la famille de vecteurs propres par récurrence sur le nombre $k$ de vecteurs.

L'objectif

Redémontrer rigoureusement la liberté de la famille de vecteurs propres par récurrence sur le nombre $k$ de vecteurs.

Le principe

Récurrence sur $k$ : en appliquant $f - \lambda_k \mathrm{Id}$ à une combinaison linéaire nulle $\sum \alpha_i x_i = 0$ , on élimine le dernier terme et on se ramène à une relation entre $k-1$ vecteurs propres, à laquelle on applique l'hypothèse de récurrence.

La méthode

1
Initialisation : pour $k = 1$ , la famille $(x_1)$ est libre car $x_1 \neq 0$ . Je suppose ensuite le résultat vrai au rang $k - 1$ .
2
Je pars d'une combinaison linéaire nulle $\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_k x_k = 0$ , je lui applique $f - \lambda_k \mathrm{Id}$ , ce qui annule le terme $\alpha_k x_k$ et donne $\sum_{i=1}^{k-1} \alpha_i (\lambda_i - \lambda_k) x_i = 0$ .
3
Par hypothèse de récurrence, $\alpha_i (\lambda_i - \lambda_k) = 0$ pour $i < k$ ; comme $\lambda_i \neq \lambda_k$ , on obtient $\alpha_i = 0$ pour $i < k$ , puis $\alpha_k = 0$ en réinjectant, d'où la liberté.

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Exercice d'exemple

Démontrer que deux vecteurs propres $x_1, x_2$ de $f$ associés à deux valeurs propres distinctes $\lambda_1 \neq \lambda_2$ forment une famille libre.

Étape 1 —

Initialisation : pour

k = 1

, la famille

(x_1)

est libre car

x_1 \neq 0

. Je suppose ensuite le résultat vrai au rang

k - 1

Initialisation : $(x_1)$ est libre car $x_1 \neq 0$ .

Étape 2 —

Je pars d'une combinaison linéaire nulle

\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_k x_k = 0

, je lui applique

f - \lambda_k \mathrm{Id}

, ce qui annule le terme

\alpha_k x_k

et donne

\sum_{i=1}^{k-1} \alpha_i (\lambda_i - \lambda_k) x_i = 0

Soit $\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 = 0$ . J'applique $f - \lambda_2 \mathrm{Id}$ : $\alpha_1 (\lambda_1 - \lambda_2) x_1 + \alpha_2 (\lambda_2 - \lambda_2) x_2 = \alpha_1 (\lambda_1 - \lambda_2) x_1 = 0$ .

Étape 3 —

Par hypothèse de récurrence,

\alpha_i (\lambda_i - \lambda_k) = 0

pour

i < k

; comme

\lambda_i \neq \lambda_k

, on obtient

\alpha_i = 0

pour

i < k

, puis

\alpha_k = 0

en réinjectant, d'où la liberté.

Comme $x_1 \neq 0$ et $\lambda_1 \neq \lambda_2$ , on obtient $\alpha_1 = 0$ , puis $\alpha_2 x_2 = 0$ donne $\alpha_2 = 0$ . Donc $(x_1, x_2)$ est libre.

$(x_1, x_2)$ est libre.

Application guidée

Démontrer par récurrence que trois vecteurs propres $x_1, x_2, x_3$ associés à $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ distincts forment une famille libre.

Application autonome 1

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ admettant $n$ valeurs propres deux à deux distinctes $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ et des vecteurs propres associés $x_1, \dots, x_n$ . Montrer que c'est une base de $\mathbb{R}^n$ .

Application autonome 2

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable telle que $A = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale. Montrer par récurrence que pour tout $k \geq 0$ , $A^k = P D^k P^{-1}$ .

Application autonome 3

Soit $f$ un endomorphisme de $E$ et $x_1, x_2, x_3, x_4$ des vecteurs propres associés à des valeurs propres $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$ deux à deux distinctes. Montrer par récurrence sur $k \leq 4$ que $(x_1, \dots, x_k)$ est libre.

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En menant une preuve par récurrence sur kkk

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