Comment montrer qu'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre ? | MetMat

Comment montrer qu'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre ?

En citant directement le résultat du cours

L'objectif

Conclure à la liberté d'une famille de vecteurs propres en appliquant un théorème direct du cours.

Le principe

Théorème : si $(x_1, \dots, x_k)$ sont des vecteurs propres d'un endomorphisme $f$ associés à des valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ deux à deux distinctes, alors $(x_1, \dots, x_k)$ est libre.

La méthode

1
Je vérifie que chaque $x_i$ est un vecteur propre de $f$ associé à une valeur propre $\lambda_i$ , avec $x_i \neq 0$ .
2
Je vérifie que les valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ sont deux à deux distinctes.
3
J'applique le théorème du cours : la famille $(x_1, \dots, x_k)$ est libre.

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Application guidée 1

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ et $x_1, x_2, x_3$ trois vecteurs non nuls avec $f(x_1) = x_1$ , $f(x_2) = 2 x_2$ , $f(x_3) = 5 x_3$ . Montrer que $(x_1, x_2, x_3)$ est libre.

Application guidée 2

Soit $A \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})$ et $X_1, X_2, X_3, X_4 \in \mathbb{R}^4$ non nuls tels que $A X_i = i \cdot X_i$ pour $i = 1, 2, 3, 4$ . Montrer que $(X_1, X_2, X_3, X_4)$ est libre.

Application autonome 1

Soit $f$ un endomorphisme de $E$ et $x, y \in E$ non nuls tels que $f(x) = -3 x$ et $f(y) = 7 y$ . Montrer que $(x, y)$ est libre.

Application autonome 2

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ admettant $3$ valeurs propres distinctes $1, 2, -1$ , de vecteurs propres associés $v_1, v_2, v_3$ non nuls. Montrer que $(v_1, v_2, v_3)$ est libre.

Application autonome 3

Soit $f$ un endomorphisme de $E$ de dimension $5$ admettant $5$ valeurs propres deux à deux distinctes. Montrer que $f$ est diagonalisable.

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