Comment déduire des éléments propres de $Q(f)$ à partir des éléments propres de $f$ ? | MetMat

Comment déduire des éléments propres de $Q(f)$ à partir des éléments propres de $f$ ?

En propageant $f(x) = \lambda x$ à $Q(f)(x) = Q(\lambda) x$

L'objectif

Déduire que $Q(\lambda)$ est valeur propre de $Q(f)$ , associée au même vecteur propre, dès que $\lambda$ est valeur propre de $f$ .

Le principe

Théorème du cours : si $f(x) = \lambda x$ avec $x \neq 0$ , alors pour tout polynôme $Q \in \mathbb{R}[X]$ , $Q(f)(x) = Q(\lambda) x$ .

La méthode

1
Je pars d'un vecteur propre $x \neq 0$ de $f$ associé à $\lambda$ : $f(x) = \lambda x$ .
2
Par récurrence immédiate, j'obtiens $f^k(x) = \lambda^k x$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ , puis par linéarité $Q(f)(x) = Q(\lambda) x$ .
3
Je conclus que $Q(\lambda)$ est valeur propre de $Q(f)$ et $x$ est un vecteur propre associé.

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Application guidée 1

Soit $f$ un endomorphisme tel que $f(x) = 3 x$ pour un certain $x \neq 0$ . En déduire une valeur propre de $f^2 - 2 f$ .

Application guidée 2

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ admettant $-1$ comme valeur propre. En déduire une valeur propre de $A^3 + A$ .

Application autonome 1

Soit $f$ un endomorphisme de spectre $\{1, 2, 5\}$ . Donner le spectre de $f^2 - 3 f + 2 \mathrm{Id}$ .

Application autonome 2

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ avec $A V = 2 V$ pour un $V \neq 0$ . Déterminer un couple propre pour $A^4$ .

Application autonome 3

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de valeur propre $2$ associée au vecteur propre $x$ . Déterminer un vecteur propre de $A^2 - 3A + I_n$ et la valeur propre associée.

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En propageant f(x)=λxf(x) = \lambda xf(x)=λx à Q(f)(x)=Q(λ)xQ(f)(x) = Q(\lambda) xQ(f)(x)=Q(λ)x

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En propageant $f(x) = \lambda x$ à $Q(f)(x) = Q(\lambda) x$