Comment déduire des éléments propres de $Q(f)$ à partir des éléments propres de $f$ ? | MetMat

Comment déduire des éléments propres de $Q(f)$ à partir des éléments propres de $f$ ?

En appliquant matriciellement $A X = \lambda X \Rightarrow Q(A) X = Q(\lambda) X$

Obtenir les éléments propres de $Q(A)$ directement en termes matriciels à partir des éléments propres de $A$ .

L'objectif

Obtenir les éléments propres de $Q(A)$ directement en termes matriciels à partir des éléments propres de $A$ .

Le principe

Théorème (version matricielle) : si $A X = \lambda X$ avec $X \neq 0$ , alors $Q(A) X = Q(\lambda) X$ pour tout $Q \in \mathbb{R}[X]$ .

La méthode

1
Je détermine un couple $(\lambda, X)$ avec $A X = \lambda X$ , $X \neq 0$ .
2
Je calcule $Q(\lambda)$ en remplaçant $X$ par $\lambda$ dans $Q$ , puis j'applique la formule $Q(A) X = Q(\lambda) X$ .
3
Je conclus : $X$ est vecteur propre de $Q(A)$ associé à la valeur propre $Q(\lambda)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ . Déterminer les éléments propres de $A^2 + 3 A$ .

Étape 1 —

Je détermine un couple

(\lambda, X)

avec

A X = \lambda X

X \neq 0

$A$ étant diagonale, ses valeurs propres sont $2$ et $-1$ ; $E_2 = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right)$ , $E_{-1} = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$ .

Étape 2 —

Je calcule

Q(\lambda)

en remplaçant

X

par

\lambda

dans

Q

, puis j'applique la formule

Q(A) X = Q(\lambda) X

Avec $Q(X) = X^2 + 3 X$ , on calcule $Q(2) = 4 + 6 = 10$ et $Q(-1) = 1 - 3 = -2$ ; donc $Q(A) X = Q(\lambda) X$ pour chaque couple propre.

Étape 3 —

Je conclus :

X

est vecteur propre de

Q(A)

associé à la valeur propre

Q(\lambda)

$A^2 + 3 A$ admet donc les valeurs propres $10$ et $-2$ , avec les mêmes vecteurs propres que $A$ .

$\mathrm{Sp}(A^2 + 3 A) = \{-2, 10\}$ avec vecteurs propres $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ avec $A X = 4 X$ , $X \neq 0$ . Donner un couple propre pour $A^5 - 10 A$ .

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Utiliser le couple propre $\left(3, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right)$ pour trouver un couple propre de $A^2 - 6 A + 9 I_2$ .

Application autonome 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Déterminer les éléments propres de $A^2 - 2A$ .

Application autonome 3

Soit $A$ telle que $AX = 2X$ avec $X \neq 0$ . Donner un couple propre de $B = A^3 - 4A^2 + A + 6 I_n$ .

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En appliquant matriciellement AX=λX⇒Q(A)X=Q(λ)XA X = \lambda X \Rightarrow Q(A) X = Q(\lambda) XAX=λX⇒Q(A)X=Q(λ)X

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant matriciellement $A X = \lambda X \Rightarrow Q(A) X = Q(\lambda) X$