Comment obtenir un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice ? | MetMat

Comment obtenir un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En exploitant une relation de récurrence donnée dans l'énoncé

Transformer une relation algébrique donnée sur $f$ en un polynôme annulateur de $f$ .

L'objectif

Transformer une relation algébrique donnée sur $f$ en un polynôme annulateur de $f$ .

Le principe

Toute égalité de la forme $\alpha_k f^k + \dots + \alpha_0 \mathrm{Id} = 0$ dans $\mathcal{L}(E)$ se traduit immédiatement par le polynôme $Q(X) = \sum \alpha_i X^i$ qui annule $f$ .

La méthode

1
Je lis l'énoncé et j'identifie une relation du type $a_k f^k + \dots + a_0 \mathrm{Id} = 0$ (ou matricielle équivalente).
2
Je traduis cette relation en posant $Q(X) = a_k X^k + \dots + a_0$ , de sorte que $Q(f) = 0$ .
3
Je conclus que $Q$ est un polynôme annulateur de $f$ , puis j'en extrais les racines pour restreindre $\mathrm{Sp}(f)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f$ un endomorphisme tel que $f^2 = f$ . Construire un polynôme annulateur.

Étape 1 —

Je lis l'énoncé et j'identifie une relation du type

a_k f^k + \dots + a_0 \mathrm{Id} = 0

(ou matricielle équivalente).

La relation de l'énoncé est $f^2 - f = 0$ .

Étape 2 —

Je traduis cette relation en posant

Q(X) = a_k X^k + \dots + a_0

, de sorte que

Q(f) = 0

Je pose $Q(X) = X^2 - X$ , de sorte que $Q(f) = f^2 - f = 0$ .

Étape 3 —

Je conclus que

Q

est un polynôme annulateur de

f

, puis j'en extrais les racines pour restreindre

\mathrm{Sp}(f)

$Q$ est un polynôme annulateur ; ses racines sont $0$ et $1$ , donc $\mathrm{Sp}(f) \subset \{0, 1\}$ .

$Q(X) = X^2 - X$ .

Application guidée

Soit $f$ un endomorphisme tel que $f^3 = 4 f^2 - 4 f$ . Construire un polynôme annulateur.

Application autonome 1

Soit $s$ une symétrie (i.e. $s^2 = \mathrm{Id}$ ). Construire un polynôme annulateur.

Application autonome 2

Soit $f$ un endomorphisme vérifiant $f^2 = 3 f - 2 \mathrm{Id}$ . Construire un polynôme annulateur de $f$ .

Application autonome 3

Soit $A$ une matrice nilpotente d'indice $3$ (i.e. $A^3 = 0$ et $A^2 \neq 0$ ). Construire un polynôme annulateur de $A$ .

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