Comment utiliser un polynôme annulateur pour restreindre l'ensemble des valeurs propres possibles ? | MetMat

Comment utiliser un polynôme annulateur pour restreindre l'ensemble des valeurs propres possibles ?

En testant chaque racine de $Q$ pour déterminer si elle est effectivement valeur propre

Transformer la liste des candidats (racines de $Q$ ) en le spectre effectif en testant chaque racine.

L'objectif

Transformer la liste des candidats (racines de $Q$ ) en le spectre effectif en testant chaque racine.

Le principe

L'inclusion $\mathrm{Sp}(f) \subset \{\text{racines de } Q\}$ n'est pas toujours une égalité : une racine $\lambda$ est valeur propre ssi $\ker(f - \lambda \mathrm{Id}) \neq \{0\}$ .

La méthode

1
Je liste les racines $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ d'un polynôme annulateur $Q$ de $f$ : ce sont les candidats.
2
Pour chaque $\lambda_i$ , je résous le système $(A - \lambda_i I_n) X = 0$ et je regarde s'il admet une solution non nulle.
3
Je retiens dans $\mathrm{Sp}(f)$ uniquement les $\lambda_i$ pour lesquels $\ker(f - \lambda_i \mathrm{Id}) \neq \{0\}$ .

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Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $Q(X) = (X-1)(X-2)$ un polynôme annulateur. Déterminer $\mathrm{Sp}(A)$ .

Étape 1 —

Je liste les racines

\lambda_1, \dots, \lambda_r

d'un polynôme annulateur

Q

f

: ce sont les candidats.

Les racines de $Q$ sont $1$ et $2$ , donc $\mathrm{Sp}(A) \subset \{1, 2\}$ .

Étape 2 —

Pour chaque

\lambda_i

, je résous le système

(A - \lambda_i I_n) X = 0

et je regarde s'il admet une solution non nulle.

Pour $\lambda = 1$ : $A - I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ inversible, donc $\ker(A - I_2) = \{0\}$ . Pour $\lambda = 2$ : $A - 2 I_2 = 0$ , donc $\ker(A - 2 I_2) = \mathbb{R}^2 \neq \{0\}$ .

Étape 3 —

Je retiens dans

\mathrm{Sp}(f)

uniquement les

\lambda_i

pour lesquels

\ker(f - \lambda_i \mathrm{Id}) \neq \{0\}

Seule $2$ est effectivement valeur propre : $\mathrm{Sp}(A) = \{2\}$ .

$\mathrm{Sp}(A) = \{2\}$ .

Application guidée

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ vérifiant $f^2 - 4 f + 3 \mathrm{Id} = 0$ et $f \neq \mathrm{Id}$ . Déterminer $\mathrm{Sp}(f)$ .

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $Q(X) = X^2$ un polynôme annulateur. Déterminer $\mathrm{Sp}(A)$ .

Application autonome 2

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = I_n$ (symétrie matricielle). Déterminer $\mathrm{Sp}(A)$ .

Application autonome 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $Q(X) = (X-1)^2$ un polynôme annulateur (car $(A-I)^2 = 0$ ). Déterminer $\mathrm{Sp}(A)$ .

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En testant chaque racine de QQQ pour déterminer si elle est effectivement valeur propre

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